分形几何是洞察事物结构本质的钥匙

客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。　 

人们发现客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动 ，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。

在20世纪70年代，法国数学家曼德尔布罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量时所使用的尺度。　

分形几何作为洞察事物结构本质的钥匙，揭示的是一种复杂性之中的简单性，分数维则被证明是一种合适的尺度。在某种意义上，分数维对应于不规则性填充空间的能力。一条欧几里得的一维直线不占据任何空间，而以无限长度充斥有限面积的科赫曲线，其外廓线却占据了空间。它多于一根直线而又少于一个平面；它大于一维却又不到二维。仔细观察科赫曲线，它是以4／3倍乘无限扩展开来，计算出来的维数大约是1．2618。
　　

爱因斯坦说：“自然规律的简单性也是一种客观事实，而且正确的概念体系必须使这种简单性功主观方顶和客观方面保持平衡。”简单性原则总是科学发展的个种推动力。问题是过去不恰当地把它和复杂性对立起来，用它来否认事物的复杂性和整体性，结果导致简单化的倾向。 当我们用相空间的轨线来描述系统的变化时，“无穷嵌套的自相似结构”指的就是这种运动轨迹的几何形态。

换句话说，非整数维数给出了一个对混沌吸引子的识别依据。混沌吸引子是分数维图形，即在不断被放大时可以显示出越来越多的细节的图形，从而揭示出混沌之中隐藏着的秩序，为在种种不同的复杂系统中发现规律性开辟了道路。

分数维形态对于混沌运动的描述是必不可少的。就象无理数远多于有理数的道理一样，非整数维给混沌运动的奇异轨道的构型提供了充分的选择余地。对于混沌，这种结构不一定指它的实际形状，而是指它的行为特征。

为检验这种数学工具是否适当，我们把模型的数值特征和真实事物相比较——例如，比较山峦的分形维数。然而，这还不够，我们还要用计算机作图以检验这种数学工具是不是好。

事物是复杂的，但复杂性并非随机性，也并非偶然性。分形理论发展了观察客观性新的思维方式，在那些令人望而生畏的复杂现象中，它发现并找到了如下规律性：

第一，无限自相激。如果想到埃菲尔铁塔，你便会茅塞顿开。埃菲尔铁塔是谢宾斯基讨垫的三维类似物，它的小梁、构架每大梁“不断分”成构件更纫的格式，精细的网络结构浑然一体，这类尺度越来越纫的重复结构完全展示了一个新天地。

第二，标度无关性。当曼德尔布罗特通过IBM计算机对一些货物的价格数据进行价格分析，他发现了令人诧异的情况。从正态分布伪观点来看是反常的数据，从标度的观点来看却出现了对称牲。每个特殊的价格变化是偶然的和不可预测的，但变化的序列却与标度无关：每天价格变化的曲线和每月价格变化的曲线相当吻合。更惊人的是，根据曼德尔布罗特的分析，价格变化的程度，竟在发生过两次世界大战和一次经济大萧条的剧烈动荡的60年中保持不变。

第三，比例对称。标度无关性必然意味着比例对称。在一种尺度上去寻找图形（如海岸线），都是无规率的。但在不同尺度上同时去寻找图形，我们却找到了规律性，即不规则程度在不同尺度上重复叠合。这不是左右高低的对称，而是大小比例的对称。

对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。

分形学研究对象的这种几何特征是过去传统的数学方法所从未涉及的，它提出的方法，是从一个新的视角和新的思路来研究现实世界，它关注更多的是自然界的真实的常态，而不仅仅是有限种标准形态和现象。这是数学与现实更走近了一步。