| 这样的N是有限个，还是无穷多个?
对于已经给定的N，如果有回归数，那么有多少个回归数?
我们来看看这种回归数有什么规律呢？
1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那（Anthony Diluna）巧妙地证明了使N位数成为回归数的N只有有限个。设An 是这样的回归数，即：
An=a1a2a3……an=a1n+a2n+……+ann （其中 0<=a1，a2，……an<=9）
从而 10n-1<=An<=n9n 即 n 必须满足 n9n>10n-1 也就是 (10/9)n<10n ⑴
随着自然数N的不断增大,，(10/9)n 值的增加越来越快,很快就会使得 ⑴ 式不成立,因此,满足⑴的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个.进一步的计算表明：
(10/9)60=556.4798...<10*60=600 (10/9)61=618.3109...>10*61=610
对于 n>=61，便有 (10/9)n>10n
由此可知，使（1）式成立的自然数 n<=60，故这种回归数最多是60位数，迪拉那说，他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数：
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一位回归数 （夜百荷数） |
:1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
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二位回归数:不存在 (菊花数) |
（20，4，16，37，58，89，145，42） |
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三位回归数 (水仙花数) |
153， 370， 371， 407 |
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四位回归数 (桃花数) |
1634，8208，9474 |
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五位回归数 (梅花数) |
54748，92727，93084 |
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六位回归数（雪花数） |
548834 |
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七位回归数（玫瑰数） |
1741725，4210818，9800817，9926315 |
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八位回归数（牡丹数） |
24696050，24696051，88593477 |
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| 九位回归数 （） |
146511208， 472335975，534494836 ，912985153 |
| 十位回归数 （） |
4679307774 |
| 十一位回归数 |
82693916578 44708635679 94204591914 32164049651 42678290603 40028394225
32164049650 49388550606 |
| 十二位回归数 |
无解 |
| 十三位回归数 |
0564240140138(只有广义解一组) |
| 十四位回归数 |
28116440335967 |
| 十五位回归数 |
无解 |
| 十六位回归数 |
4338281769391371 4338281769391370 |
| 十七位回归数 |
35641594208964132 21897142587612075 35875699062250035 233411150132317(广义解) |
| 十八位回归数 |
无解 |
| 十九位回归数 |
4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 1517841543307505039 |
| 二十位回归数 |
14543398311484532713 63105425988599693916 |
| 二十一位回归数 |
128468643043731391252 449177399146038697307 |
| 二十二位回归数 |
无解 |
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| 三十二位回归数 |
17333509997782249308725103962772 |
| 五十六位回归数 |
02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
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但是此后对于哪一个自然数 n (<=60)还有回归数?对于已经给定的n
，能有多少个回归数?最大的回归数是多少?
12、13、15、18、22
3、现基本找齐60以内的广义花朵数，已找到的最大的广义花朵数为
02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
位数：02193762240761908392137860899658607674401938496187046968
三、循环圈花朵数，我们将完整花朵数与广义花朵数都看做循环次数（周期）为1次的循环圈花
朵数。那么，一般地循环次数为M的就叫M次循环圈花朵数。1本身也是一个特殊的1次循环圈花朵
数。当N是大于0的整数时：
1、对于任意N位数，N次幂来说，循环圈花朵数一定存在，至少有一个圈存在，如N等于2。
2、对于任意N位数，N次幂来说，最小的圈循环次数（周期）（1本身也是一个特殊的循环圈花朵数，除开1这个数之外）不一定是1，也不一定是2，对于不同的N来说不一样，如N＝12时，最小的圈是5，它们是：
785119716404(5次)，
381286065015，
142281334933，
351184701607，
098840282759，
N＝18时，最小的圈是2，它们是：187864919457180831，375609204308055082，
3、对于任意N位数，N次幂来说，最大的圈相对N位数来说是很小的，但可能上千万，甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。
4、我们将循环圈花朵数又叫圈内数或圈上数，非循环圈花朵数又叫圈外数。1的N次幂也等于1，因此，1是循环次数（周期）为1次的循环圈花朵数，也是圈内数。对于任意N位数，N次幂来说，可将N位数分为圈内数和圈外数，所有的圈外数，经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。
四、一般地广义来讲，对于任意一个数（可以在有理数范围，且不受位数限制），对正整数N（可也是0）次幂运算来说。
1、至少存在一个圈，如N＝0，只有一个圈，圈上数为1，其它所有的数，经过一次运算后，即进入圈。
2、对于一定的N来说，圈子的个数是定值。
3、对于一定的N来说，最小的圈除1之外，最小的圈循环次数（周期）不一定是1，也不一定是2，对于不同的N不一样，如N＝12时，最小的圈是5。
4、对于一定的N来说，最大的圈相对N位数来说是很小的，但可能上千万,甚至上亿。已找到的最大的圈超过了亿。
5、对于N次幂来说，可将所有的有理数分为圈内数和圈外数，所有的圈外数，经过一定次数的N次幂运算后会进入圈内数。
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