超常的学习能力

冯·诺依曼十几岁时曾得到一位叫拉斯罗·瑞兹的颇有才华的老师的点拨。他的同学菲尔纳在回忆小冯·诺依曼早期学习情况的信中说过：冯·诺依曼的非凡才华引起了瑞兹的注意，他感到冯·诺依曼有超凡的才能，几年来，瑞兹竭尽全力辅导，而冯·诺依曼吸收知识之快，更是非常惊人。现在他感到，再由自己来培养冯·诺依曼，就会心有余而力不足了，必须提醒孩子的父母，采取新的方法。瑞兹认为：再按传统的办法教冯·诺依曼中学数学课程将是毫无意义的，应该接受大学教师的单独的数学训练。于是在寇夏克教授的指导下，由当时在布达佩斯大学当助教的菲克特对冯·诺依曼进行家庭辅导。

1914年夏天，约翰进入了大学预科班学习，是年7月28日，奥匈帝国借故向塞尔维亚宣战，揭开了第一次世界大战的序幕。由于战争动乱连年不断，冯·诺依曼全家离开过匈牙利，以后再重返布达佩斯。当然他的学业也会受到影响。但是在毕业考试时，冯·诺依曼的成绩仍名列前茅。

其后的四年间，冯·诺依曼在布达佩斯大学注册为数学方面的学生，但并不听课，只是每年按时参加考试。与此同时，1921年冯·诺依曼入柏林大学，1923年又进入瑞士苏黎世联邦工业大学学习化学
。1926年他在苏黎世的获得化学方面的大学毕业学位，通过在每学期期末回到布达佩斯大学通过课程
考试，他也获得了布达佩斯大学数学博士学位。冯·诺依曼这种不参加听课只参加考试的求学方式，在当时是非常特殊的，就整个欧洲来说也是完全不合规则的。但是这种不合规则的学习方法，却又非常适合冯·诺依曼。

逗留在苏黎世期间，冯·诺依曼常常利用空余时间研读数学、写文章和数学家通信。在此期间冯·诺依曼受到了希尔伯特和他的学生施密特和外尔的思想影响，开始研究数理逻辑。当时外尔和波伊亚两位也在苏黎世，他和他们有过交往。一次外尔短期离开苏黎世，冯·诺依曼还代他上过课。聪明的智
慧加上得天独厚的栽培，冯·诺依曼在茁壮地成长，当他结束学生时代的时候，他已经漫步在数学、物 理、化学三个领域的某些前沿。

1926年春，冯·诺依曼到哥廷根大学任希尔伯特的助手。1927～1929年，冯·诺依曼在柏林大学任兼职讲师，期间他发表了集合论、代数和量子理论方面的文章。l927年冯·诺依曼到波兰里沃夫出席数
学家会议，那时他在数学基础和集合论方面的工作已经很有名气。

在集合论与数学基础研究方面有很多重要成果

1921年，冯·诺依曼通过“成熟”考试时，已被大家当作数学家了。 他的第一篇论文是和菲克特合写的，是关于车比雪夫多项式求根法的菲叶定理推广，注明的日期是1922年，那时冯·诺依曼还不满18岁。 他的另一篇文章是讨论一致稠密数列，是用匈牙利文写的，从论文题目的选择到证明方法的简洁都显示出冯·诺依曼掌握了代数的技巧，并对集合论具有很好的直觉，两者的结合使他的工作具有很高的水平。 

1923年当冯·诺依曼还是苏黎世的大学生时，发表了超限序数的论文。文章第一句话就直率地声称 “本文的目的是将康托的序数概念具体化、精确化”。他的关于序数的定义，现在已被普遍采用。

冯·诺依曼有一个很强烈愿望就是希望对公理化进行深入的探讨。大约从l925年到l929年，他的大多数文章都在努力尝试实现他的集合论公理化的思想，即便在理论物理研究中他是也如此。当时，他对集合论的表述处理，尤感不够形式化，在他1925年关于集合论公理系统的博士论文中，开始就说“本文的目的，是要给集合论以逻辑上无可非议的公理化论述”。 

有趣的是，冯·诺依曼在论文中预感到任何一种形式的公理系统所具有的局限性，模糊地使人联想到后来由哥德尔证明的不完全性定理。对此文章，著名逻辑学家、公理集合论奠基人之一的弗兰克尔教授曾作过如下评价：“我不能坚持说我已把(文章的)一切理解了，但可以确有把握地说这是一件杰出
的工作，并且透过他可以看到一位巨人”。

1928年冯·诺依曼发表了论文《集合论的公理化》，是对上述集合论的公理化处理。该系统十分简洁，它用第一型对象和第二型对象相应表示朴素集合论中的集合和集合的性质，用了一页多一点的纸就写好了系统的公理，它已足够建立朴素集合论的所有内容，并借此确立整个现代数学。

冯·诺依曼的系统给出了集合论的也许是第一个基础，所用的有限条公理，具有像初等几何那样简单的逻辑结构。冯·诺依曼从公理出发，巧妙地使用代数方法导出集合论中许多重要概念的能力简直叫人惊叹不已，所有这些也为他未来把兴趣落脚在计算机和“机械化”证明方面准备了条件。

20年代后期，冯·诺依曼参与了希尔伯特的元数学计划，发表过几篇证明部分算术公理无矛盾性的论文。l927年的论文《关于希尔伯特证明论》最为引人注目，它的主题是讨论如何把数学从矛盾中解脱出来。文章强调由希尔伯特等提出和发展的这个问题十分复杂，当时还未得到满意的解答。它还指出阿克曼排除矛盾的证明并不能在古典分析中实现。为此，冯·诺依曼对某个子系统作了严格的有限性
证明。这离希尔伯特追求的最终解答似乎是不远了。但恰在此时，1930年哥德尔证明了不完全性定理
。定理断言：在包含初等算术(或集合论)的无矛盾的形式系统中，系统的无矛盾性在系统内是不可证
明的。至此，冯·诺依曼只能中止这方面的研究。 

后来冯·诺依曼在对集合论本身的研究中还取得过一些成果，他在数学基础和集合论方面的兴趣一直延续到他生命的结束。