布劳威尔认为数学直觉的世界和感觉的世界是互相对立的，日常的语言属于感觉世界，不属于数学。数学独立于语言存在，而逻辑是从属于语言的，它不是揭露真理的工具，而是运用语言的手段。正因为如此，数学中最主要的进展不是靠逻辑形式完美化而得到，而是靠基本理论本身的变革。

布劳威尔认为逻辑规律并不对数学有什么约束作用，数学是自由的，不一定遵守什么逻辑规则。他认为经典逻辑是从有限集合的数学抽象出来，没有理由运用到无穷集合。1908年，他反对把排中律运用于无穷集合上，因为有穷集合可以逐个检查，而无穷集合则办不到，因此存在不可断定真假的第三种情况，就是说有既不可证明，又非得要证明的命题。

1908年到1913年，布劳威尔主要从事拓扑学的研究，他运用单形逼近的方法证明了维数的拓扑不变性，这在数学上是个了不起的成就，是极重要的拓扑方法。他在李群、几何等方面也有出色的工作，不过很快他又转向基础研究。

布劳威尔象康德和彭加勒一样，认为数学定理是先验综合真理。他在1912年的阿姆斯特丹大学就职演说中，他承认由于非欧几何的发展，康德的空间学说不可信。但他同弗雷格和罗素相反，仍然坚持康德的观点，算术是从对时间的直觉导出的。由于现代数学是建立在算术基础上的，所以整个数学也是如此。正是时间单位的序列产生序数的概念，而连续统[0，1]只是不可用新单位穷尽的居间性，他认为几何学也依赖于这种直觉。他认为除了可数集合之外，没有其他集合，所以ω以上的超穷数都是胡说八道，象 0与 1之间所有实数的集合是毫无意义的。这点他在1908年罗马召开的国际数学家大会上讲过，数学无穷集合只有一个基数，即可数无穷。

1909年他同希尔伯特通信，指出形式主义和直觉主义的争论焦点。1912年说到这个问题之后，他一直到1917年才又开始这方面的论战。从这时起到二十年代末他发表一系列的文章，开始建立一个不依靠排中律的集合论，接着又建立构造的测度论及函数论，这是他从消极的否定转变为积极的构造。同时他试图使数学家相信排中律导出矛盾。他运用了扇定理，这个定理及选择序列、散集等是他的直觉主义数学的独创。

三十年代初期由于哥德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。外尔早在1920年左右就表示效忠于直觉主义，从而激起希尔伯特的极大愤怒。他吸收了直觉主义一些思想，开始用有限主义方法来完成证明论方案，企图一劳永逸地解决基础问题，不料没能成功，于是还得求助于无穷。

直觉主义仍然进行他们的事业，特别是海丁建立直觉逻辑系统，它包含古典逻辑系统。后来更有人建立直觉主义集合论及直觉主义分析。不过，仍然不能尽如人意。

1967年，美国数学家毕肖普出版《构造性分析》一书，开始了构造主义的时期。他们不象以前直觉主义者那样偏激，而是积极采用构造的方法解决一个个具体问题。不去单纯的否定或争论。毕肖普自信会取得大多数人的支持，不过没有能实现，因为他们毕竟成就有限，难于同整个数学汪洋大海相比，可是十几年来构造主义还是取得一定进展，如《构造性泛函分析》等书问世，说明它还有一定的市场。