目录

第一章 历史上的数学危机

  1. 什么是数学危机
  2. 第一次数学危机
  3. 第一次数学危机的产物—古典逻辑与欧氏几何学
  4. 非欧几何学的诞生
  5. 第二次数学危机

第二章 第三次数学危机产生的背景

  1. 数学符号化的扩充:数理逻辑的兴起
  2. 寻找数学的基础:集合论的创立
  3. 数学的公理化

第三章 悖论及其解决方案

  1. 一连串的悖论的出现
  2. 悖论动摇了整个数学的基础
  3. 罗素的类型论
  4. 策梅罗的公理集合论

第四章 哥德尔的发现:意想不到的结果

  1. 哥德尔小传
  2. 1930年数理逻辑的状况
  3. 1930年哥德尔的两项主要贡献

第五章 数理逻辑的大发展

  1. 证明论
  2. 递归论
  3. 模型论
  4. 公理集合论

第六章 数学与哲学

  1. 逻辑主义
  2. 直觉主义
  3. 形式主义
  4. 数学与哲学

结束语

 
 

数学进程中的三次危机

数学中过去的错误或者未解决的困难,是为它未来的发展提供了契机。

                                                                                                         ——E.T.Bell 

数学的永远令人神往的美貌之一就是,它的艰难的悖论是以栩栩生辉的方式使之得到美妙的结果。——P.J.Davis 

第三次数学危机是胡作玄教授写的关于数学发展史的一篇力作,在结束语中 他用精练的语言将数学发展的历程做了高度概括,不仅讲述了数学危机产生的背景,同时也介绍了危机本身,最后他告诉我们危机是如何解决的。

我认为这个结束语是必读的,它对读者阅读全文和了解数学发展史有非常大的帮助。因为全文比较长,可能有人不会看到最后,而我又希望大家不要略过这个部分,为此我做了一个大胆的调整,请大家先阅读结束语,如果你有兴趣就可以随意地阅读其他相关的章节。把结束语放在最前面的目的是想把它作为一个阅读的导引。——编者

第三次数学危机

——胡作玄

结束语

数学素以精确严密的科学著称,可是在数学发展的历史长河中,仍然不断地出现矛盾以及解决矛盾的斗争。从某种意义下讲,数学就是要解决一些问题,问题不过矛盾的一种形式。

有些问题得到了解决,比如任何正整数都可以表示为四个平方数之和;有些问题至今没有得到解决,如哥德巴赫猜想:任何大偶数都再可以表表示为两个素数之和。我们还很难说这个命题是对还是不对,因为随便给一个偶数,经过有很多次试验总可以得出结论,但是偶数有无穷多个,你穷毕生精力也不会验证完。也许你能碰到到一个很大的偶数,找不到两个素数之和等于它,不过即使这样,你也难以断言这种例外偶数是否有限多个,也就是某一个大偶数之后,上述歌德巴赫猜想成立。

这就需要证明,而证明则要用有限的步骤解决涉及无穷的问题。借助于计算机完成的四色定理的证明,首先也要把无穷多种可能的地图归结成有限的情形,没有有限,计算机也是无能为力的。因此看出数学永远回避不了有限与无穷这对矛盾。只要无穷存在,你就要应付它。这可以说是数学矛盾的根源之一。

在处理出现矛盾的过程中,数学家不可能不进行“创造”,这首先表现在产生新概念上,我们不妨先不管自然数。

为了解决实际问题、人们必须发明出“零”来,然后要造出负数、有理数、无理数乃至虚数。所谓虚,就是不实,凭空想象出来的意思,不过解代数方程有必要把它请进来,请进来后又觉得它不实在、不太放心。后来它用处很大,能解决非它不可的问题,于是轰也轰不走了。

复数挤进数学王国之后,跟着四元数、八元数、超复数……都来了,它们可没有复数都么大的用处,甚至根本没用。要还是不要呢?这也使数学家处于为难的境地。数学家经常处于这种矛盾的过程中。

“什么是存在?”,这是数学的一个基本问题。什么东西可以挤进数学王国?直觉主义者规定一个较窄的限制:必须能够一步一步构造出来;而形式主义者规定一个较宽的限制:只要没有矛盾就行了。不过什么叫没有矛盾?当然逻辑没有矛盾,其实就是遵守形式逻辑规律。可是形式逻辑是从人类有限经验推出来的,对于无穷情形还灵不灵?这当然存在问题,可是不许推广,那数学还能剩下多少靠得住的东西呢?

在数学史上这种矛盾也是屡见不鲜的。无穷小量刚出现时,漏洞百出、无法自圆其说,可是行之有效、解决问题。所以达朗贝尔说:“前进,你就能恢复信心!”,这可以说是一种实用主义态度。

十九世纪,柯西和维尔斯特拉斯用极限概念解决了矛盾,同时也扔掉了无穷小,这里无矛盾性占了上风。1961年,罗滨逊发明非标准分析,又把无穷小量请了回来,仍然没有矛盾。不过它是建立在模型论基础上,要承认非可数无穷基数的存在。

承认无穷集合,承认无穷基数,就好象打开潘朵拉的盒子,一切灾难都出来了。这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以回避,数学的确定性却在一步一步丧失。最近莫利斯·克莱因写了一本《数学—确定性的丧失》一书,就是讲的这件事。

现代公理集合论的一大堆公理简直难说孰真孰假,可是又不能把它们一古脑儿消除掉,它们跟整个数学可是血肉相连的。所以第三次危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续看。矛盾既然是固有的,它的激烈冲突—危机也会给数学带来许多新内容,新认识,有时也带来革命性的变化。

把二十世纪的数学同前整个数学相比,内容不知丰富了多少,认识也不知深入了多少。在集合论的基础上,诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论。数理逻辑也兴旺发达,成为数学有机整体的—部分。古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维,代数数论的面貌也多次改变,变得越来越优美、完整。一系列经典问题完满地得到解决,同时又产生更多的新问题。特别是二次大战之后,新成果层出不穷,从未间断。教学呈现无比兴旺发达的景象,而这正是人们在同数学中矛盾斗争的产物。