而下面的文章，则纯粹从学术的角度介绍了哥德巴赫猜想的研究历史，也是一篇很好的科普文章。希望有助于人们更深入地了解哥德巴赫猜想，当然，我们也把此文献给去世5年的潘承洞先生——他的名字已经镌刻在哥德巴赫猜想研究的年表上。

数学与数论

数学王子高斯(C. F. Gauss)有一句名言：“数学是科学的女王”；他又讲“数论是数学的王冠”。正如他所说，数论在数学中一直处于醒目的地位。

18世纪的领袖数学家拉格朗日(J. L. Lagrange)有一个著名的定理，即任何一个正整数都能写成四个整数的平方和。这个定理是费马(Fermat)早年的猜测，与拉格朗日同时代的大数学家欧拉(L. Euler)曾经给出一个不完整的证明。第一个完整的证明是拉格朗日给出的。他在完成这个工作之后很感慨，在给欧拉的一封信中，他说：“对我来讲，算术是最难的。”这里，算术就是数论。这是拉格朗日对数论的评价。

何谓哥德巴赫猜想？

俄国数学家辛钦(A. Ya. Shinchin)曾经评论说，哥德巴赫猜想是王冠上的一颗明珠。当然，这个王冠上可能还有其它明珠。

哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他于1690年生于德国哥尼斯堡，受过很好的教育。哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通讯。1742年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，虽然他不能给出证明。

用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。

任何人看了这个猜想之后，都能发现这是一个漂亮的猜想。本人认为，一个好的猜想应该具备以下四个条件。第一，它的表述应该很简单，大凡智力正常的人一听就能明白。我相信，小学四、五年级的学生都能明白哥德巴赫猜想的内容。第二个条件，虽然表述很简单，但是这个猜想的证明断然不能简单。第三点，一旦有了证明，这个证明一定是出人意料的。一个好的猜想的证明一定是有趣的，绝对不能像愚公移山一样，天天重复同样枯燥的工作，重复了上万年，才取得成功。第四点，这个猜想绝对不能是孤立的，任何孤立的猜想在数学中都没有太大的意义。一个好的猜想的研究应该可以提升到人类文化史的高度上来看，能够带动其它相关领域、甚至是数学以外的学科的发展。具备上面这四点，那就是一个伟大的猜想。我个人认为，哥德巴赫猜想就具备以上这四个条件。

给定一个猜想，人们可以用各种各样的方法进行研究。譬如，对于哥德巴赫猜想，有人可能用数手指头的方法来研究，这人可能是个小学生。有人想用打算盘的方法来研究，那这人可能是一个小店的会计兼出纳。真正研究这个猜想，则需要很高深的数学工具。还必须指出的是，从这个猜想可以看出数学的特性——数学是在所有科学当中唯一能够处理无穷的学科。我们不能用做实验的方法来研究哥德巴赫猜想。计算机算得再快，也只能在有限时间内算有限个数；然而，遗憾的是，奇数和偶数都有无穷多个。所以，这个猜想让迷信实验的人非常沮丧。不过，在最好的计算机所能算到的范围之内，哥德巴赫猜想全是对的。

奇数的哥德巴赫猜想

相对来讲，奇数的猜想比较容易，因为它是偶数的猜想的推论。如果每个大偶数都能写成两个素数之和，那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和，因为任何奇数减去3都是一个偶数。

关于哥德巴赫猜想的研究，历史上第一个重要文献是哈代(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E. Littlewood)1921年的伟大论文，在这篇长达70页的文章里，他们提出了圆法。哈代在英国皇家学会演讲时说：“我和李特伍德的工作是历史上第一次严肃地研究哥德巴赫猜想”，虽然此前很多有名的数学家都研究过这个猜想，甚至有人宣布证明了猜想。然而，哈代和李特伍德对奇数猜想的证明依赖于一个条件——广义黎曼(B. Riemann)猜想——这个猜想到现在也未被证明。在英国人看来，哈代重振了牛顿(I. Newton)以后的英国分析。

1937年，俄国数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov)无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出，任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说，在数轴上取一个大数，从这个数往后看，哥德巴赫猜想都对；在这个数前面的奇数，需要用手或计算机来验证。然而，至今计算机还未能触及那个大数。

维诺格拉多夫的证明发表之后，又出现了几个新证明。这些证明既简洁，又提供了完全不同的方法。在这些新证明中，有三个特别应该强调的：一个是俄国数学家林尼克(Yu. V. Linnik)的，再一个是潘承彪先生的；还有英国数学家沃恩(R. C. Vaughan)的。在相当长的一个阶段内，人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人，他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。与此同时，他还是一个很好的数理统计学家。

偶数哥德巴赫猜想

很遗憾，偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明。但是，数学家们从各个方向逼近这个猜想，并且取得了辉煌的成就。我将介绍研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径，其中几乎每个途径都有潘老师的工作。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理，以及几乎哥德巴赫问题。

途径一：殆素数

殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N＝A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。现在用狖a+b狚来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成狖1+1狚。
在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。

1920年，布朗(V. Brun)首先取得突破性的进展，证明了命题狖9+9狚。后续进展如下：哈德马赫(H. Rademacher)，

1924，狖7+7狚；艾斯特曼(T. Estermann)，

1932，狖6+6狚；里奇(G. Ricci)，1937，狖5+7狚；布赫施塔伯(A. A. Buchstab)，

1938，狖5+5狚；布赫施塔伯，1940，狖4+4狚；库恩(P. Kuhn)，

1941，a+b小于或等于6。

1950年，菲尔兹奖得主塞尔伯格(A. Selberg)改进了筛法。

王元先生1956年证明了狖3+4狚。

另一个俄国数学家阿·依·维诺格拉多夫(A. I. V inogradov)1957年证明了狖3+3狚，

王元先生1957年进一步证明了狖2+3狚。

上述结果有一个共同的特点，就是a和b中没有一个是1，即A和B没有一个是素数。所以，要是能证明a＝1，再改进b，那就是一件更了不起的工作。林尼克1941年提出来的大筛法使得这项工作成为可能。

后来，林尼克的学生、匈牙利数学家兰易(A. Rényi)深入地研究了大筛法，并在1948年证明了命题狖1+b狚。

用王元先生的话说，这个b是个天文数字。当时，没有人知道b究竟有多大。这个b的数值依赖于素数在算术级数中平均分布的水平，即另外一个重要常数θ的值。

此后便是潘承洞先生的伟大工作。1962年，28岁的潘承洞定出θ可以取1/3，从而推出命题狖1+5狚，一下子把b从天文数字降到了5。这是一个决定性的突破。

王元先生改进筛法之后，证明了狖1+4狚。

同一年，潘老师又得到了一个更大的θ＝3/8。从3/8出发，潘老师也证明了狖1+4狚。然后，布赫施塔伯证明了3/8蕴涵命题狖1+3狚，即从潘老师的θ＝3/8可以推出命题狖1+3狚来。以上结果表明，θ做得越大，b就越小。但θ不能太大，其可能的最大值是1/2；比1/2再大，均值定理的形式就会发生变化，所以可以认为1/2是最佳。1965年，θ的最佳值1/2被取到，这个定理就叫做庞比埃里-维诺格拉多夫(E. Bombieri--A. I. Vinogradov)定理，是庞比埃里和阿·依·维诺格拉多夫独立证明的。庞比埃里是意大利数学家，因为这项工作获得了菲尔兹奖。虽然庞比埃里证明了θ能取到1/2，但是他未能证明狖1+2狚。

命题狖1+2狚的证明是陈景润先生完成的。1966年，陈景润先生在《科学通报》上登了命题狖1+2狚证明的简报，此后“文化大革命”开始，《科学通报》与《中国科学》随即停刊。直到1973年《中国科学》复刊之后，陈先生狖1+2狚证明的全文才得以发表。

以上是沿着殆素数方向研究哥德巴赫猜想的进展。直到现在，狖1+2狚还是最好的结果。虽然突破狖1+2狚就会得到狖1+1狚，但是大家公认再用筛法去证明狖1+1狚几乎是不可能的，只有发展革命性的新方法，才有可能证明狖1+1狚。所以，哈伯斯坦(H. Halberstam)与里切特(H. E. Richert)在他们的名著《筛法》(Sieve Methods)的最后一章指出：“陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点。”

途径二：例外集合

在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，直到现在还不能证明E(x)＝1；但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。

维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。

现在，我每个月都要接见几个业余搞哥德巴赫猜想的人，其中不乏有人声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意义下是对的。实际上他们就是“证明”了例外偶数是零密度。我告诉他们，这个结论华老早在60年前就真正证明出来了。

注意，我们的目标是证明E(x)的上界是x的零次方，然而1938年E(x)上界的世界记录基本上是x的1次方，二者相差很远。因此降低该上界中x的方次将是一件很重要的事。1975年，蒙哥马利(H. L. Montgomery)与沃恩证明存在一个小于1的正数δ，使得E(x)的上界是x的δ次方。

1979年，潘老师与陈景润先生合作，证明了这个δ可以取0.99。按照陈先生和潘老师的思路，后来有很多人都改进了δ的值。目前最好的结果是李红泽教授2000年得到的，δ可以取0.92。

在广义黎曼猜想之下，哈代和李特伍德证明了δ可取1/2。就是说，即使能够证明广义黎曼猜想，我们也不能进而推出哥德巴赫猜想。最近，我与叶扬波教授合作，利用广义黎曼猜想和L-函数零点分布的统计规律猜想，进一步推进了例外集合的上界，证明了E(x)不超过lo g x的平方。请注意，与x的任何δ次方相比，log x增长都是很慢的。因此我们的结果指出，E(x)小于x的任何δ次方。

但是我们毕竟没能证明哥德巴赫猜想。到目前为止，猜想研究的现状仍然可以用潘老师生前的一句话来概括，即“哥德巴赫猜想甚至没有一个假设性的证明。”

哈代1921年在皇家学会演讲时指出：“哥德巴赫猜想似乎不能用布朗的方法（即筛法）来证明。”他说：“能够最终证明猜想的方法，应该与我与李特伍德的方法类似。我们不是在原则上没有成功，而是在细节上没有成功。”哈代同时还指出，不是圆法无力，而是他与李特伍德的分析能力不够。作者认为，更高阶的L-函数应该是哈代和李特伍德所需要的分析工具；或许，将高阶的L-函数融入圆法就会最终证明哥德巴赫猜想。

途径三：小变量的三素数定理

上文曾经提到，如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。这个思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取1/4。后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。

途径四：几乎哥德巴赫问题

1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。1999年，作者与廖明哲及王天泽两位教授合作，首次定出k的可容许值54000。这第一个可容许值后来被不断改进。其中有两个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k＝2000。目前最好的结果k＝13是英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。

一个数学家的价值

以上缅怀了潘承洞先生的部分工作，以及哥德巴赫猜想研究的最新进展。最后，我想引用哈代《一个数学家的自白》中的几句话，来总结作为数学家的潘承洞先生的生平。哈代说：“人的首要责任就是要有雄心。在拿破仑的雄心中有某些高贵的因素，但是最高贵的雄心，就是要在死后留下具有永久价值的东西。”

《一个数学家的自白》结尾写道：“我的一生，或者在相同意义上作为数学家的那些人的一生，可以这样总结：我们丰富了知识，也帮助别人更多地丰富了知识，而我们所做的这一切，与那些历史上的大数学家和艺术家的不朽贡献相比，只有程度的不同，没有本质的差异。”

哈代的朋友罗素说过：“我希望在工作中满足地死去，因为我清楚地知道，所有能做的事都已完成，而且会有后人继续我未竟的事业。”

潘承洞老师永垂不朽，因为他的事业永垂不朽。

作者：刘建亚

(本文根据作者在纪念潘承洞院士逝世5周年学术报告会上讲演整理而成，刘建亚是潘承洞先生的学生，现为“长江学者奖励计划”特聘教授，山东大学数学与系统科学学院副院长)