1981年出版了潘承洞与潘承彪合著的《哥德巴赫猜想》，对猜想的研究历史，主要研 究方法及研究成果作了系统的介绍与有价值的总结，得到了国内外数学界的一致好评。他们还合箸了《素数定理的初等证明》（1988），《解析数论基础》（1991），《初等代数数论》（1991）及《初等数论》（1992）。潘承洞与于秀源合箸了《阶的估计》（1983）。潘承洞还写了科普读物《素数分布与哥德巴赫猜想》（1979）。这些箸作对我国数论的研究，教学和人才培养起了很好的作用。

潘承洞在解析数论研究中所取得的成就主要有以下几个方面。

 1 　算术数列中的最小素数
　　设a 与q 是两个互素的正整数, a < q , q > 2. 以P( q , a) 表示算术数列a + kq ( k = 0 ,1 ,2 , …) 中的最小素数。一个著名的问题是要证明P( q , a) 《 qlog2 q.
　　1944 年, Ю. В. 林尼克( Linnik) 首先证明存在正常数λ，使得P( q , a) 《 qλ。这只是一个定性结果，且证明很复杂与冗长 。K.A.罗托斯基（Rodoskii）才给了一个较简单的证明，P.吐朗（Turan）在他的书末提及罗托斯基的方法并末给出λ的数值的任何消息，并指出如果改用他自已的方法。数学学报41 卷© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved。一个较简单的证明, 但P. 吐朗( Turán) 在他的书末曾提及罗托斯基的方法并未给出λ的数值的任何消息, 并指出如果改用他自己的方法，很可能定出λ来，但始终未见有文章发表。1957年 ，潘承洞在他的两篇论文[2 ,3 ]中， 通过对L 函数性质的深入研究，本质上改进了林尼克的证明，明确指出λ主要依赖于和L 函数有关的三个常数，具体给出了计算λ的方法。他先后得到了λ<10000与λ<5448。
        林尼克亲自为他的文章写了长篇评论。此后所有改进常数λ数值的工作都是在潘承洞所建立的这一框架下得到的。30 多年来主要改进是:λ ≤ 770 , 550 , 168 , 80 , 20 , 11. 5 , 8 , 5. 5。它们分别是由陈景润，M. 尤梯拉(J utila) , 陈景润, M. 尤梯拉, S. 格拉汉姆( Graham) , 陈景润与刘健民 ，王炜，D. R. 黑斯- 布朗(Heath2Brown) 得到的。

2  哥德巴赫猜想, 大筛法, 以及素数分布的均值定理

为了研究著名的哥德巴赫猜想—每一个大于2 的偶数一定是两素数之和，人们提出先研究这样一个较简单的命题: 存在一个正整数r , 使得每一个充分大的偶数一定是一个素数与一个不超过r 个素数的乘积的和，这一命题简记为{ 1 , r} 。这样, 哥德巴赫猜想基本上就是命题{ 1 ,1}。在哥德巴赫猜想提出200 多年后，A. 兰恩易（Renyi）通过对林尼克的大筛法的重大改进 ，结合V. 布伦（Brun）筛法，证明了命题{ 1 , r} 。这是一个重大的开创性工作。但是由于证明方法上的缺点，他的结果是定性的，即不能定出r 的有效值 。兰恩易证明的关键实质上隐含地就是要证明如下的素数分布均值定理: 存在正数η , 使得对任意的正数B 及ε有
Σd F xη-εmax( l , d) =1π( x ; d , l) -1φ( d)π( x) = Ox(log x) B 东省, (1)其中与"O"有关的常数依赖于ε与B ，φ( d) 是欧拉函数，π( x ; 1，1) 表示满足条件p≤x,p≡l(mod d)的素数p 的个数, 并且π( x) = π ( x ; 1 , 1) . 兰恩易把(1) 式左边的和式转换为估计一个对L函数零点求和的三重和式。这种和式的估计是很困难的。他通过对大筛法的改进，进一步改进L 函数零点分布的结论，从而直接估计出这个三重和式的最内层和，然后，再由显然方法估计这个三重和式、由此，他证明了存在正数η使得(1) 式成立 ，进而推出存在正整数r 使命题{ 1 , r} 成立。由于兰恩易只是有效地估计最内层和，所以无法有效地给出η和r 的值。

1962 年，潘承洞对大筛法与L 函数零点分布的结论做了进一步改进，使他得以对三重和式内的二重和式作整体的有效估计，他证明了当η = 1/ 3 时 ，(1) 式成立，进而推出命题{ 1 ,5} 成立。几乎同时M. B. 巴邦( Варбанн) 独立地证明过η = 1/ 6 时， (1) 成立 。但并未给出在哥德巴赫问题上的应用。潘承洞的结果是一个出人意料的重大进展。1963 年，他又与巴邦独立地证明了当η = 3/ 8 时，(1) 式成立 ，并进而证明了命题{ 1 ,4} 。1965 年，E.邦别里（Bombieri）和A.I.维诺格拉多夫（Vinogradov）各自独立地通过对大筛法的最佳改进 ，得以从整体上估计上述三重和式，从而证明了当η = 1/ 2 时(1) 成立，这是邦别里获得菲尔兹奖的主要工作。H. 哈伯斯塔姆（Halberstam）在评论邦别里的这一工作时指出[34 ] : 潘承洞的结果是“真正杰出的工作”。1983年，E.福利（Fouvry）和H. 伊万尼斯（Iwaniec）指出[35 ] : 邦别里-维诺格拉多夫定理是在林尼克、兰恩 易、潘承洞、巴邦等人的“开创性工作的基础上得到的”。

1973 年，潘承洞提出并证明了一类新的素数分布均值定理，它是邦别里-维诺格拉多夫定理的重要推广与发展，能容易地解决后者所不能直接克服的困难 。利用这一新的均值定理不仅给出了陈景润定理—命题{ 1 ,2} 的最简单的证明，成为以后研究哥德巴赫猜想型问题的基础，而且在不少著名解析数论问题中有重要应用 ，特别是1983 年黑斯—布朗在关于原根的E. 阿廷（Artin）猜想的论文中应用它得到了重要成果 。1988 年，H. E. 理歇特（Richert）在纪念华罗庚国际数论与分析会议上发表的综述性论文[36 ]中，把邦别里—维诺格拉多夫定理，陈景润定理 ，以及潘承洞的新均值定理称为这一领域的三项最重要的成果。

3  小区间上的素变数三角和估计与小区间上的三素数定理
        1937 年，维诺格拉多夫证明了著名的三素数定理：每一充分大的奇数一定是三个素数的和。这就基本上解决了1742 年哥德巴赫所提出的猜想的一部分：每个大于5 的奇数都是三个素数之和。维诺格拉多夫的主要贡献在于得到了素变数三角和
Σp F xe2πiαp的非显然估计, 其中α为实数, p 为素数变数。

 C. B. 哈赛格庐乌(Haselgrove) 在1951 年首先考虑了这样的问题: 每个充分大的奇数一定是三个几乎相等的素数的和。他宣布了一个结果但没有证明。精确地说，上述问题可以这样表达: 存在正数c < 1 , 使对每个大奇数N , 素变数p1 , p2 , p3 的不定方程N = p1 + p2 + p3 ,N3 - Nc+ε F pj F N 3 + Nc+ε, 　=j = 1 ,2 ,3 (2)必有解。其中ε为任意的正数。这就是小区间上的三素数定理。解决这一定理的关键是估计小区间上的素变数三角和
Σ x - A < p < x  e2πiαp , (3)

其中2≤A≤X. 维诺格拉多夫曾经给出了三角和(3) 的一个非显然估计，他的方法本质上是筛法。但是，他的结论不足以解决这一问题。

1959 年，潘承洞用分析方法给出了(3) 式的非显然估计，再结合维诺格拉多夫的估计，证明了不定方程(2) 当c = 160/ 183 时有解，且有解数的渐近公式。虽然在他的证明中有缺陷，但他的方法为以后研究小区间素变数问题的论文经常运用。

1988 年起，潘承洞与潘承彪继续发展了他的思想，发表了三篇论文，不仅完善了1959年的结果，而且全面完整地提出了用纯分析方法来估计小区间素变数三角和(3) ，进而相继证明了当c = 91/ 96 , 2/ 3 时(2) 有解, 且有解数的渐近公式. 这些结果后来进一步为贾朝华、展涛所改进。潘承洞在这些论文中提出的思想、方法，及改进圆法的应用 ，在研究一些解析数论问题中, 看来还有进一步发展的潜力。

4  哥德巴赫数的例外集

凡可以表示为两个素数之和的偶数称为哥德巴赫数. 命E( x) 表示不超过x 的非哥德巴赫数的偶数个数。1975 年, H. L. 蒙哥马利(Montgomery) 与R. C. 沃恩(Vaughan) 证明了:存在δ > 0 使E( x) = O ( x1 - δ)，此处与“ O ”有关的常数依赖于δ，1979 年陈景润与潘承洞首次指出δ是可以计算的，并给出估计δ > 0. 01。最近李红泽进一步证明δ〉0.079 。

5  大筛法及其应用、

1963 年, 潘承洞证明了下面的结果: 命k =log q/log A+ 1 ，此处q 无平方因子. 若k<= F log3A ，则对于满足A < p F2 A 及( p , q) = 1 的所有素数p，除了不超过A 1 -ε(ε > 0) 个属于模D = pq 的例外L 2函数外，当χD ( n) 对p 本原时，L ( s , χD) 在区域
σ > 1 -2q- εk· log D4 log D + 2 log (| t | + 1) ，| t | F T内不为零。

这是兰恩易结果的改良, 在他原来的结果中需有限制| T | ≤log3 D , 而这里T 是无限制的. 由这一估计可得下面的应用: 命N ( p , k) 表示模p 的最小k 次正非剩余, 此处A < p F2 A。则除了不超过A 1 -ε个例外素数p 之外, 恒有N ( p , k) = O ( (log A ) 18+ε) 其中与“O”有关的常数依赖于ε。

除解析数论外，潘承洞的研究领域还涉及其他一些数学分支及其应用。50 年代末，在广义解析函数论及其在薄壳上的应用，数论在近似分析中的应用等方面；1970 年前后在样条插值及其应用，滤波分析及其应用等方面，均做了一些工作。

潘承洞在山东大学数学系任教的30 多年中，始终在教学第一线，为大学生、研究生开设了10 多门课程，如数学分析、高等数学、实变函数论、复变函数论、阶的估计、计算方法、初等数论、拟保角变换、素数分布、堆垒素数论、哥德巴赫猜想 ，等等。他对教学一贯认真负责。他讲解生动，方法灵活，条理清楚，逻辑性强，善于深入浅出地启发学生去理解和掌握课程的要点和难点，深受学生的欢迎. 在专心致志于教学、科研的同时 ，他还积极地和同事们一起为山东大学数学系和山东大学的建设与发展做出了贡献。

本文由中科院数学所王元先生撰写，原文发表于《数学学报》1998年第3期。