解析数论在中国

王元

摘要

本文综述了解析数论近70年来在中国的发展以及中国数学家在这一领域的重要贡献， 特别是华罗庚及陈景润的重大成就。

1、回顾

中国解析数论研究的创始人是华罗庚，他生于1910年，江苏金坛人，由于家贫，初中毕业后，仅念完一年职业学校，即辍学在家。他发奋自学数学，并能在上海《科学》杂志上发表一些初等数学文章，从而引起了熊庆来、杨武之等注意。1931年，清华大学算学系主任熊庆来邀华罗庚来清华工作，任系助理员。在杨武之的指导下，华罗庚走上了研究数论之路。

1936年， 清华大学以访问学者名义，送华罗庚去英国剑桥大学深造，师从哈代（G. H. Hardy）。在与同辈互相研讨下，华罗庚在解析数论方面取得了突出成就。

由于抗日战争爆发，华罗庚于年回国，在昆明任西南联合大学数学系教授，在华罗庚的领导下，阂嗣鹤与钟开菜跟他一起研究解析数论。（后来，钟开莱改习了概率论）1946年，华罗庚去美国工作。

中华人民共和国刚成立，华罗庚即于1950年初回国服务。1951年，华罗庚被任命为中国科学院数学研究所所长。

1953年，他在数学所组织了“ 数论导引” 与“ 哥德巴赫（G.Goldbach）猜想“ 两个讨论班，指导越民义、许孔时、王元、吴方、魏道政、严士健、任建华研究解析数论。1956年，华罗庚调厦门大学陈景润来数学所工作。

1955年，闵嗣鹤在北京大学数学系开设解析数论专门化，参加的学生有潘承洞、尹文霖、邵品宗与侯天相。以前，闵嗣鹤还指导过迟宗陶。

解析数论的研究领域也从华罗庚与闵嗣鹤熟悉的指数和估计及其应用拓展到筛法、模形式论、二次型论、丢番图分析、超越数论、代数数论及数论的应用等。

另外，中国还有几位基本上靠自学成才并能在解析数论方面作出贡献的人，他们是董光昌、丁夏畦与潘承彪。

近70年来，中国经历了抗日战争与解放战争。建国后，历次政治运动不断，特别是“文化大革命”十年浩劫。但解析数论的研究不仅没有间断，而且不断取得令人鼓舞的成绩，这是十分难得的。

本文仅列举几条经典解析数论方面最重要的成果如下。这些结果及其证明在国内外该领域最重要的著作中均可以见到。

2、华氏定理

华氏定理（1949）命q为一个正整数， f(x)=a_kx^k+...+a₁x 为一个k次整系数多项式且最大公约 数（a_k ，... ，a₁ q)=1，则对于任何ε >0皆有 
此处e(z)=e^2πiz与“0 ” 有关的常数为仅依赖于k与π的常数c(k,ε) 。

华氏定理溯源于高斯(C.F.Gauss)。他首先引进f(x)=ax²的特例情况，即所谓高斯和S(q，ax²)，(a，q)=1，
并得到估计S(q，ax²)=O(q ^1/2)。

高斯引进并研究高斯和的目的在于给出初等数论中非常重要的二次互反律一个证明。以后，不少数学家企图推广高斯和及他的估计，但他们只能对特殊的多项式所对应的，S(q，f(s) )，取得成功，这一历史名题直到1940年，才由华罗庚解决。

华氏定理是臻于至善的，即误差主阶1-1/k已不能换成一个更小的数。这只是取f(x)=x^k及q=p^k(p为素数)就可以知道。所以依•维诺格拉朵夫 （I. M. Vinogradov）称赞华氏定理是惊人的。

华氏定理的直接应用是，可以处理比希尔伯特（D. Hilbert）一华林（G.Waring）定理更为广泛的问题: 命N为一个正整数 ， f₁(x)(1<=i<=s)是首项系数为正的k次整值多项式， 考虑不定方程

N=f1(x1)+…+fs(xs)   (1)

的求解问题，特别取f₁(x) =…=f_s(x)=x^k， 即得

N=x₁^k+…+x_s^k  (2)

1770年，华林提出猜想:当s>=s₀(k)时，(2) 有非零非负整数解。华林猜想是希尔伯特于1900年证明的。于是华林猜想就成了著名的希尔伯特一华林定理，但用希尔伯特方法所能得到的S₀(k)将是很大的，20年代以后，哈代、李特伍德(J.E. Littlewood)与依•维诺格拉朵夫用圆法及指数和估计法对S₀(k)作了精致的定量估计。用华氏定理基本上可以将依•维诺格拉朵夫关于华林问题的重要结果推广至不定方程（1），即假定（1）满足必须满足的条件，则当s>=s₀=O(klogk)及N充分大时，（1）有非零非负整解。当s>=s’₀=(k²logk)时，方程（1）的解数有一个渐近公式。

3、华氏不等式

华氏不等式(1938)命N为一个正整数， f(x)对为一个k次整系数多项式，T(a)=∑^N_x=1， 则对于任 何ε>0及1<=j <=k 皆有

华氏不等式的直接应用为不定方程(1)，由圆法来处理方程(1)，则首先需将方程(1)的解数表示成(0，1)上的一个积分，然后将(0，1)，分成互不相交的优孤与劣孤之并，优孤上的积分给出(1)的解数的主项，需证明劣孤上的积分是一个低阶项，从而可以忽略不计，这样就得到了解数渐近公式。华罗庚证明了：假定f_i(x)(1<=i<=s)为满足必须满足的条件的k次整值多项式。则当s>=2^k+1时，方程(1)的解数有一个渐近公式。特别对于华林问题，即方程(2)，当s>=2^k+1时，对充分大的N，(2)有非寻常非负解，且解数有渐近公式。当k<=10时，这一结果是华林问题的最佳结果。直到半个世纪之后，基于对华氏不等式的某些改良，沃恩（R.F. Vaughan）与希斯布朗(D.R.Heath-Brown)才能对华罗庚关于华林问题的结果作点改进，但他们所用的方法却繁得多了。

基于华罗庚关于解析数论的基本方法，即关于指数和估计的华氏定理与华氏不等式，再加上依• 维诺格拉朵夫的韦尔（H.Weyl）和估计与关于素数变数的指数和估计，华罗庚系统地研究了不定方程(1)及其他堆垒问题的求解问题，并限制变数x₁，x₂，…x， 均取素数值。

华罗庚的结果总结在他的专著《堆垒素数论》中，这本书被译成俄文、英文、德文、匈牙利文与日文。它是圆法、指数和估计及其应用方面最重要的经典著作之一。

4、陈氏定理

陈氏定理（1966）每一个充分大的偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和。简记为（1，2）。
诚如哈贝斯坦（H. Halberstam）与黎切尔特(H.E.Richert)所称，陈氏定理为“ 惊人的定理” ，而且“ 从筛法的任何方面来说，它都是光辉的顶点”。

陈氏定理与筛法相关，筛法导源于公元前250年的“ 埃拉朵斯染尼氏（Eratosthenes）筛法” ，1919 年，布伦(V.Brun)对这一方法作出了重大改进，并将它用于哥德巴赫猜想。1947年，赛尔贝格（A.Selberg）给出了埃拉朵斯染尼氏筛法的另一个重大改进。

哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫与欧拉（L.Euler）的通信中提出来的，可以表述为：每一个不小于4的偶数都是两个素数之和 。简记为（1，1）。

1900年，在希尔伯特的著名演讲中，又将这一猜想列入他的23个数学问题中的第八问题。布伦首先证明了：每个充分大的偶数都是两个素因子个数均不超过9的整数之和，简记为（9，9），余类推，（1，1）即表示哥德巴赫猜想对充分大的偶数成立。布伦的方法与他的结果先后被拉代马海尔（H.Rademacher），艾斯特曼(T. Estermann)，黎奇(G. Ricci)，布赫斯塔布(A.A. Buchstab)与孔恩(P.Kuhn)所改进。

将布伦、布赫斯塔布与赛尔贝格方法相结合，王元改进了布赫斯塔布的结果，他证明了

（3，4）（王元，1956）。

再与孔恩方法相结合，他又得到了当时的最佳结果

（2，3）（王元，1957）。

处理哥德巴赫猜想的另一途径是，将布伦筛法与林尼(Yu.V. Linnik)的大筛法相结合。首先是雷尼(A. Renyi)于1947年证明了，存在常数c使(l，c) 成立，潘承洞与巴尔巴恩(M.B.Barban)独立地确定了c之值，潘承洞的结果如下：

（1，5）（潘承洞，1962），

（1，4）（潘承洞，1963）。

这是当时的最佳结果，由于邦比里( E. Bombieri)与阿•维诺格拉朵夫(A.I.Vinogradov)对大筛法及算术级数素数分布的均值定理的重大贡献，他们于1965年证明了(1，3)，在上述成就的基础上，加上天才的创造，陈景润于1966年证明了(1，2)，陈景润的方法在国外称为“转换原理”。

5 、其他工作

在经典解析数论的下列方面：依• 维诺格拉朵夫的韦尔和估计的改进与简化；塔内(Tarry)问题；高斯圆内整点问题；狄里赫雷（P.C.L.Dirichlet）除数问题；黎曼（G. F. B. Riemnan）ξ一函数在临界线上的值估计；最小原根估计；最小皮尔（J.Pell）氏方程解的估计；算术级数中最小素数的估计；小区间中殆素数估计；小区间中哥德巴赫数的估计；有限制的三素数定理；无平方因子数的估计以及球内整点问题与高维除数问题等，中国数学家都作出了引人注目的贡献，在此就不详细叙述了。