这种缩小包围圈的办法很管用，于是从（9十9）开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后（1+1）为止。用这样方法来证明“哥德巴赫猜想”确实取得了一系列重要的进展：

1920年，挪威数学家布朗（Brun）用古老的筛选法证明了（9＋9）；

1924年德国数学家拉德马赫（Rademacher）证明了（7+7）；

1932年英国数学家埃斯特曼（Estermann）证明了（6＋6）；

1932年，意大利的蕾西（Ricei）先后证明了（5+7）, （4+9）, （3+15）和（2+366）； 

1938年，苏联数学家维诺格拉朵夫证明了充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，这使欧拉设想中的奇数部分有了结论，剩下的只有偶数部分的命题了。 

1938年，苏联数学家布赫斯塔勃证明了（５＋５），２年后又证明了（４＋４）。

       1938年，我国数学家华罗庚证明了所有偶数都可以表示为一个质数和另一个质数的方幂之和；

1940年他又证明了（4＋4）；

1956年，苏联数学家维诺格拉朵夫证明了（5+5），（4+4），（3+3）；

1956年，我国数学家王元证明了“3+4”；

1957年，我国数学家王元证明了“3+3”和“2+3”； 

而在1948年，匈牙利数学家兰恩易(Renyi)另外设置了一个包围圈。他开辟了另一条途径。他想要证明：每个大偶数都是一个素数和一个“素因子都不超过六个的”数之和。他果然证明了（1＋6）。

但是，以后又是十年没有进展。

1962年，我国数学家潘承洞与苏联数学家巴尔巴恩(BapoaH)各自独立证明了（1＋5）；

1963年，又前进了一步，潘承洞与王元合作证明，苏联数学家巴尔巴恩独立证明了（1＋4）。

1965年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和数学家庞皮艾黎邦别里等三人差不多同时都证明了（1＋3）。

“包围圈”越来越小，越来越接近终极目标（１＋１）。

维诺格拉多夫(1937年)，无条件地证明了奇数哥德巴赫猜想，即每个充分大的奇数都是三个奇素数之和。

　　布朗(挪威1919年)证明了:每个大偶数都是两个素因子个数均不超过9的整数之和(记为9 + 9，记号k + l表示大偶数分解为不超过k个奇素数的积与不超过l个奇素数的积之和 ，下同)

布赫夕塔布的4 + 4(1940)，瑞尼的l+c (c为一不确定大数)(1948)和库恩的a+b (a+b≤6)(1954);　　

1966年我国数学家陈景润在对筛选法进行了重要改进之后，终于证明了（1+2）。也就是：“任何一个充分大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的乘积。”

1966年5月陈景润在中国科学院的刊物《科学通报》第十七期上他对外正式宣布已经证明了（1＋2）。他的证明震惊中外，被誉为“推动了群山，”并被这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。 (1973年发表详细证明)

20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是圆法、筛法、密率法和指数和三角和法等高深的数学方法。

许多数学家，包括曾经做出过重要贡献的数学家认为，要想证明（1＋1），必须通过创造新的数学方法，以往的路都是走不通的。

由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果（1＋1）仅有一步之遥了。而这一步却无比艰难。30多年过去了，哥德巴赫猜想的 证明仍未有重要的突破。

目前利用计算机能证明到10的14次方为止哥德巴赫猜想是成立的，而严格的数学论证则要求其对所有的数都有效。