那么吴文俊从历史中得到什么结论，受到哪些启发呢？

中国的传统数学，由求解几何问题以及其它各类问题而导致的方程求解，是古算术发展的一条主线。几何问题的解决，其答案往往以公式的形式出现。由观天测地导致的勾股弦公式、日高公式等等，都是从一些简单易明的原理导出的。然而在《四元玉鉴》中己经指出，如果引入天元（即未知数）建立相应的方程，通过解方程即可自然导出这些公式。这提供了一条证明与发现几何定理的新路：把非机械化的定理求证归结为机械化的方程求解。吴文俊明确提出，中国古代数学是一种机械化数学，数学机械化思想是中国古代数学的精髓。

他进一步指出：数学发展的历程中，存在公理化思想和数学机械化思想，两种思想对数学的发展进步都做出了重大贡献，理应兼收并蓄。《几何原本》是公理化思想的代表作，《九章算术》及《九章注》汇集了东方数学的精髓及其大成，是机械化算法体系的传世之作。公理化思想的成果以定理表述，而机械化思想的成果则常总结为算法（术）的形式。近代数学的伟大发现，如近世代数、解析几何、微积分的建立，无不闪烁着数学机械化思想的光辉。

解析几何是近代数学发展的开端。坐标概念的建立，是微积分学的基础。1637年，笛卡尔（Descartes）关于几何学的著作问世，清晰地展现了数学机械化思想。书中建立了一般的（非直角的）坐标系，引入了坐标的概念，从而实现了几何的代数化。书中没有考虑公理化的证明，而把重点转向几何问题的求解。书中把几何问题求解转化为方程求解，应用代数方程求得几何问题的解答，表述为几何定理。此书是坐标几何的创始之作。解析几何的创立，是数学机械化思想的产物。

数学的实质跃进在于化难为易。在中国古代数学的成就中，吴文俊见到了许多实例，它们实现了化难为易的伟大创造。

十进位位值制，是中华民族的创造，是世界上绝无仅有的独特创造。把0,1,…到9这10个数字，因其在前后不同的位置又赋予相应的位置值，这样就可以利用这10个数字表示任意大的整数，同时使整数间的计算变得简便易行。这一创造使极为困难的整数表示和演算，变得这样简易平凡，以至于人们往往忽略它对数学发展所起的关键作用。十进位位值制的创造，化难为易，是人类文明史的光辉一页。我国的数学教学，如果能增加一些数学史的知识，讲明中华数学的伟大创造，让年轻人都能了解这些创造对人类文明发展进步发挥的重大作用，那将是非常有意义的。

从颇费脑筋的算术四则问题，通过建立代数方程，到按部就班地求解代数方程，是数学发展史上实现机械化、化难为易的光辉范例，是数学的一次跃进，意义重大。

在解方程的发展过程中，天元概念(即未知数)和天元术(即建立方程)的发明是一种飞跃。天元概念和天元术的出现，使方程的建立也成为机械化的过程，从此变得轻而易举。这是机械化数学思想化难为易的又一次体现。在数学发展史上，其意义之重大是可与位值制的创造相提并论的。这是中华数学在数学上影响深远的又一贡献。

吴文俊总结道：是否能化难为易，以及如何才能化难为易，也就是把原来极为困难的数学问题实现机械化而变得容易起来，乃是数学机械化的主题思想，也是它的主要目标。

吴文俊因在拓扑学研究中的杰出成就而享誉国际数学界，在代数几何研究中也已取得重大原创性成果。正处于高产丰收之际，他却毅然决然地暂时放下这些领域的研究，举起数学机械化的大旗，满腔热情地投入到数学机械化研究。做出这一重大战略转移，充分反映出他对数学科学的深刻理解和勇往直前的创新精神。他认为，在拓扑学和代数几何方面固然还可以做出许多成绩，其意义却远远不及开辟新的数学机械化领域。他当然清楚，现时的数学研究，公理化思想居于统治地位，对机械化思想没有给予应有的重视。而数学的发展，应该适应信息时代的客观需求，也要遵循数学科学进步的内在规律。中国传统的数学机械化思想，在数学发展的历程中做出过巨大贡献，也必将对当代数学科学的进步发挥重要作用。

数学机械化思想为数学科学的发展提供导向。在信息革命时代，数学将出现什么样的变化？尤其是，中国的数学将如何进步？这是数学家们经常思考的问题。许多数学家已经觉察到，现时的数学似乎缺少什么精神，前进的动力日渐贫弱，以至于出现了对数学发展前景的争论。吴文俊明确提出了自己的答案：开展数学机械化研究，让数学机械化思想的光芒普照数学的各个角落。已故程民德院士曾经指出，吴文俊倡导数学机械化研究，是从战略的高度为中国数学的发展提出一种构想。实现数学机械化，将为中国数学的振兴乃至复兴作出巨大贡献。

战略构想的实现，首先要选好突破点。战略突破口选在哪里？吴文俊想到：西方传统的几何定理证明，其形式与机械化迥然不同。是否可以找到一条道路，使证明也成为机械化的呢？非常“不机械化”的欧氏几何，也走几何代数化的道路，实现定理证明的机械化，使普通人都可证明复杂、困难的几何定理。若如此，则是数学发展历程中的又一件有意义的事。

他考虑得更多更远。几何是由代数控制的，应用不同的代数工具，会导致不同类别的几何，吴文俊深谙个中道理。他自然想到那些不具有微分运算的几何，如欧氏几何、非欧几何、球几何、投影几何、仿射几何、有限几何、代数几何等等。既然走几何代数化的道路，这些几何定理的证明能否也实现机械化呢？

上述这些几何，每种都是一个成熟的数学分支，都包含丰富的内容，掌握一门已属不易。现在要把它们做为一个整体来对待，统称为初等几何，建立一般的机器证明的理论和方法，其困难程度可想而知，涉足此类问题者自然寥寥，是否有前人想过则不得而知。

如是，实现初等几何的定理机器证明，需要积累广博的初等几何的知识，需要坚实的现代代数几何的基础，还要掌握计算机，亲自编写证明程序，亲自上机实践，这样才能独树一帜，别开生面。要掌握和理解这些数学知识已属不易，更何况开创这些几何定理的机器证明的理论和方法，自然是难上加难。而这，恰恰是吴文俊追求的目标。

从事数学研究是需要能力的。吴文俊先生讲过：人们常说学数学的人聪明，依我看，数学这个行当是适合笨人来做的。当然，对于聪明和愚笨要有适当的理解。他认为自己不属于聪明者之列，故而要付出超出常人的努力，勤勤恳恳地去练笨功夫。吴文俊在解决数学问题时所具有的强大攻坚能力，正是他勤于下笨功夫的磨炼凝聚而铸成的。

吴文俊大学毕业后到中学任教。当时上海盛行几何定理证明。初等几何以其定理的简单直观而易懂，又以其证明的难以捉摸而具有无比的魅力，美妙的几何定理层出不穷，美不胜收。借教书之便，他走遍能进入的图书馆，借阅了大量初等几何的著作，筛去浅显粗糙者，尽情专读精品和名著，书中定理自行补证，书中习题全数演练，证明了大量艰深的定理。他当时就有用解析几何的方法，简化冗长繁琐的定理证明的记录。数十年后，当他完成初等几何定理的机器证明时，仍能如数家珍那样讲述许多定理的来龙去脉、内容和意义。对于几何定理证明，吴文俊是下过笨功夫的。

50年代归国后，吴文俊继续做代数拓扑学研究，也曾花力气研究代数几何，直到文革爆发而中止。他不追赶当时的一些热门流派，仍然强调构造性的研究。他从代数几何的研究对象出发，解读已有的成果，发现它们间的联系，寻找重要的基本概念的构造性论述方式，使之改造为易于应用的形式。他强调代数簇母点这一概念的基本重要性，利用它将自己熟悉的陈省身示性类推广到具有奇点的情形，这是原有方法所做不到的，是一项重大的学术创新。这段经历，为创立几何定理机器证明的理论和方法奠定了基础，创造了条件。对于代数几何，吴文俊也是下过笨功夫的。

机器证明的实现，首先要在理论和方法上有所突破。引入坐标系之后，几何对象及它们之间的关系可由多项式表示。几何定理的假设可得一组多项式方程（简称为“假设方程”），结论也得一多项式方程（简称为“结论方程”）, 这不难，学过解析几何的人都能做到。证定理是从假设推导出结论，这就难了，要发现一条切实可行之路，能够按部就班地证明一类定理，那就更难了。按照通常的理解，所谓由“假设方程”推导出“结论方程”，代数的解释是，“假设方程”的每个解都是“结论方程”的解；用几何的语言描述则是，“假设方程”所定义的零点集包含于“结论方程”所确定的零点集之内。然而问题的复杂超出了人们的想象。吴文俊发现，并非“假设方程”的每个解都是“结论方程”的解，实际上，“假设方程”的解中仅有一部分是“结论方程”的解，而另一部分却不是“结论方程”的解。用什么办法区别和界定“假设方程”解中的两个部分，又如何给出合理的几何解释，是实现几何定理机器证明必须克服的困难。

几何对象之间的关系相互牵扯，导致不同点的坐标在“假设方程”中前后交错。因此，必须对“假设方程”进行处理，使之从杂乱无章变得井然有序，适于机证定理的需要。代数几何的研究经历，使吴文俊熟知多项式代数运算的几何内涵，因而能够料想有哪些途径，该如何入手化繁为简做到这一步。把预想变为现实，要进行艰难的探索，吴文俊再次以他的勤奋下笨功夫，日日夜夜地演算推导，过程中出现的多项式经常有数百项甚至上千项，一个多项式需要几页纸才能抄下，稍有疏漏演算则难以继续。经历数月的奋战，浑然忘我，终于建立了多项式组特征列的概念。以此概念为核心，提出了多项式组的“整序原理”，创立了机证定理的“吴方法”，首次实现了高效的几何定理的机器证明。

理论和方法的突破，尚需在计算机上进行检验。方向已经明确，宏伟的目标立即转化为顽强的动力。在近耳顺之年，吴文俊从零开始学习编写计算机程序，亲自上机。70年代末，当时的计算机性能是非常初步的。在相当困难的条件下，他以极大的热情再次下笨功夫。简单的袖珍计算器，也变成他心爱的进行定理证明的工具。吴文俊的勤奋是惊人的。80年代中期，系统所购置了HP-1000计算机。他的工作日程经常是这样安排的：早晨8点不到，他已在机房外等候开门，进入机房后是近10个小时的连续工作，傍晚回家进餐，还要整理计算结果，两个小时后又到机房，工作到深夜或次日凌晨。第二天清晨，又出现在机房上机，24小时连轴转的情况也常有发生。若干年内，他的上机时间遥居全所之冠。在近古稀之年，他仍然精力充沛地忘我征战。当时中关村到处修路，挖深沟埋设管道，他经常在深夜独自一人步行回家，跨沟翻丘，高一脚低一脚，有时下雨，则要趟着没膝深的雨水摸索前行。那是一幅多么感人的情景！几经寒暑，几度春秋，义无反顾的拼搏，终于获得丰硕的成果。

通常证明几何定理的综合（演译）证法，其应用范围是颇为有限的。几何定理的机械化证法，开辟了初等几何获得实际应用的广阔道路。

机证定理的成功，获得自动推理学界的高度赞扬和推崇。而充分理解和认识其在数学科学发展历程中的深刻影响和重要作用，则尚需时日。既然从算术四则问题进化为代数方程求解，是数学发展的一次意义重大的跃进，那么，实现初等几何定理的机械化证明，化难为易，也是数学的实践和认识的一次飞跃。

吴文俊分析所取得的成绩时指出，我们是遵循我国古代机械化数学的启示，把几何代数化，把非机械化的几何定理证明转化为多项式方程的处理，从而实现了几何定理的机器证明。对于他建立的特征列法，他则认为只是给《四元玉鉴》以现代化的处理，使之臻于严密、合于现代数学的要求而已。初等几何定理的机器证明是战略突破点，由此打开局面，再逐步走上更一般更深层的数学机械化之途。数学不同分支中许多的问题，自然科学不同领域中很多的问题，高新技术中大量的问题，都可转化为多项式方程组求解。机证定理仅是解方程的一项重要而成功的应用，解方程才是数学机械化研究的核心内容。

吴文俊身体力行，把求解多项式方程组的特征列法推广到微分的情形，建立了求解代数微分多项式方程组的微分特征列法。他本人的研究工作，已将解方程应用到许多领域，如线性控制系统、机械机构综合设计、平面星体运行的中心构形、化学反应方程的平衡、代数曲面的光滑拼接、从开普勒定律自动推出牛顿定律、全局优化求解等等。

吴文俊进一步指出，数学机械化思想是一种思维模式，一些数学分支正是由于踏上了机械化的道路而获得蓬勃发展并成为重要的研究方向，甚至成为数学的主流。他以自己熟悉的代数拓扑学为例解释道，庞加莱（Poincare）以解析方程组所定义的几何图像作为研究对象，建立了代数拓扑学。稍后又引进了复合形的概念，使某种程度的机械化考虑得以成立，从此拓扑学得到飞跃发展，成为当代数学中最有影响的学科之一。他还举例，当代最活跃的几何学领域，微分几何与代数几何有着直观的背景，它们最基本的几何对象，都是通过坐标与方程来表达的，隐含着几何代数化的思想。数学的各个领域，都有自身的发展模式，有着自己的定理求证和问题求解, 如何走上机械化的道路，有待于各行各业专门家的努力。

吴文俊先生从事数学研究几十年，成就斐然。在崎岖的科学道路上奋勇攀登的征程中，高屋建瓴、科学的大局观是重要的，脚踏实地、勤奋的下笨功夫同样是重要的，两者是他获得成功的重要保证。
（本文大量引用了吴文俊先生的文献，并未一一注明。）

撰稿人：数学与系统科学研究院研究员 石赫