进行数学研究还要选择方向么？什么方向是正确的？陈省身先生的评语使吴文俊陷入沉思。

陈省身先生经常讲，数学家要会区分好的数学和不怎么好的数学。什么是好的数学呢？陈省身先生说，有些数学是有开创性的，有发展前途的，就是好的数学。比如说，解方程就是。当然还是陈先生讲的对，“好的数学”是指那些有深远意义的，可以不断深入，影响许多学科的数学课题。

陈省身先生强调：特别是年轻人，一定要做好的数学。

年轻的吴文俊领悟到陈省身先生的评语的重大指导性。吴文俊回忆说，正是陈师的指导，使自己的数学研究，避免了陷入概念之间无穷尽的繁琐论证的泥坑，专注于具有几何意义的实质性问题。

吴文俊是幸运的，得到了数学大师的指点。各种机遇经常在向人们招手，能发现机遇，适时地把握机遇，则需要能力，甚至还要有些聪颖和灵气。灵气是功力的体现。常言道，心有灵犀一点通。一个人的功力，不是天上掉下来的，也不是他人所赋予的，需要长期的努力，日积月累而造就的。吴文俊是以他专注、执着、忘我的勤奋，勤于学习和善于学习，勤于思考和善于思考，勤于探索和善于探索，练就了一身硬功夫。

代数拓扑学的建立仅有几十年，以解析方程组所确定的几何形体为研究对象，研究其在连续变换下的各种性质。那时出版的专著，叙述的比较抽象，缺少几何直观，读者难以理解所列举的一些概念的实质。吴文俊阅读这种书，也是不得要领。陈省身先生讲授代数拓扑学，从代数曲面的情形讲起，形象直观，由浅入深，从具体引导到抽象。吴文俊回忆说，经陈师的讲解，原来晦涩难通的抽象概念，变得生动易懂，对拓扑学的学习从此步入坦途。

于是，吴文俊开始阅读陈先生指定的拓扑学文献，又尽力查找相关的文章努力钻研。不久，陈先生建议吴文俊考虑惠特尼（Whitney）示性类的乘积公式。据说此公式的证明极为繁复，以至于惠特尼本人为了把证明写清楚，计划撰写一本专著。吴文俊查阅了有关的文献，掌握了建立惠特尼示性类的途径，尤其是熟悉了惠特尼示性类的计算方法，也了解了惠特尼本人的一些想法，因而他能设想解决问题的办法和方略。经过几个月艰苦的思考、推导和演算，吴文俊练就的功夫发威，终于得到了惠特尼乘积公式的简短证明。

拓扑学号称“难学”，不到一年的研习，就获得这么重大的成绩，令人称奇。有的外国友人，了解这一过程后，连连摇头，表示不可思议。

1947年，吴文俊考取赴法留学。那时，法国巴黎是世界的数学中心，学术活动频繁，高手多，信息灵。然而，对法国数学界深有了解的陈省身先生，却建议吴文俊去位于法国一隅的斯特拉斯堡，跟随亨利.嘉当（H. Cartan）继续研读代数拓扑学。当吴文俊赶到斯特拉斯堡时，亨利.嘉当却回到巴黎了。于是,吴文俊又转跟艾利斯曼(Ehresmann)。嘉当和艾利斯曼都是著名的布尔巴基(Bourbaki)学派的创始人。艾利斯曼的研究领域与吴文俊的目标更加接近，对吴文俊的研究工作大有帮助。斯特拉斯堡的环境，使吴文俊专注于示性类的研究。

拓扑变换下的不变量，是拓扑学研究的重要内容。所谓示性类，是一种基本的拓扑不变量。1940年前后，有关示性类的文章陆续发表，短期内集中出现许多重要进展。及时掌握和理解这些文章，是进入研究前沿所必须做的。瑞士的斯蒂佛（Stiefel）和美国的惠特尼先后从不同的途径引入了示性类，吴文俊在国内时己经了解两者实质上是相同的。而弄懂苏联数学家庞特里亚金（Pontrjajin）的文章，则颇费周折。庞氏的文章是用俄文发表在苏联的数学期刊上的，而吴文俊没有学过俄语。怎么办呢？吴文俊找来俄语的语法书籍粗读一遍，就开始利用俄文字典逐字查找字义，逐句进行翻译，逐段理解数学内容，然后全文融汇贯通。就这样一字一句地啃，吴文俊硬是读通了庞氏的文章，掌握了庞氏建立示性类的想法、途径和数学内涵。对于陈省身先生所建立的示性类，吴文俊则得天独厚，有着深刻的理解。

有一个譬喻是说，进行数学研究有如架桥。如何架桥呢？先要选址、设计，然后筑起一座座桥墩，再逐孔架起钢梁，首尾相连，於是天堑变通途。数学研究首先要选题，确定一串难点，然后逐个攻克这些难点，再融汇贯通连成一片，到达彼岸。这仅仅是一种形象的譬喻。基础研究与工程建设有着巨大的差别。基础研究是探索尚未被认识的事物，具有很大的不确定性。有谁能为基础科学研究制定时间进度表呢？工程项目则必须按照施工方案进行，有明确的进度和完工期限。更为重要的是工程建设不允许失败。工程的失败不仅是资源和财富的浪费，甚至要付出惨重的代价，是要追究责任的。而科学研究，尤其是基础研究，却允许失败。科学的进步，都是在无数次失败之后取得的。对于科学家而言，失败是宝贵的财富，失败是成功之母。失败的经历，也是造就强者的过程，失败孕育了成功。成固可喜，败亦欣然，是科学家的精神境界。

在示性类的研究中，难点是成串的，攻克一个又要面对下一个。扎实的功力，勤奋的探索，吴文俊能设想出克敌制胜的方略，然后进行强攻，取得突破。这要经过努力，失败，再努力，再失败，孜孜不倦的努力，然后才能取得一些进展。他的研究工作不受作息时间表的限制，只要有想法，有一线攻克难点的希望，就会付出十倍的努力。夜以继日的拼搏，精力长时间高度集中，高强度的脑力劳动付出，吴文俊的勤奋已浑然忘我。忘我的勤奋，艰难的、勇往直前的奋战，获得了丰厚的胜利战果。

吴文俊分别为这些重要的示性类命名，他首次使用了惠特尼示性类，庞特里亚金示性类，陈省身示性类的名称。吴文俊明确指出它们不同的数学内涵，理清了它们之间的关系，论证了其它的示性类都可由陈省身示性类推导出，反之则不能，从而肯定了陈示性类的基本重要性。吴文俊建立了惠特尼示性类彼此之间的关系式，国际上称为吴（第二）公式。

进而，吴文俊在微分流形上引入了一类示性类，国际上称其为吴示性类，突出的特点在于它是可以具体计算的。吴文俊证明了惠特尼示性类用吴示性类表示的公式，国际上也称其为吴（第一）公式，从而使惠特尼示性类也变为具体可算的。抽象的数学概念变为具体可算的，是质的跨越。吴示性类的建立，使示性类变为易于理解，适宜应用，为拓扑学的应用开辟了广阔的局面。

对于这些成就，陈省身先生给予了高度评价，认为吴文俊对纤维丛示性类研究做出了划时代的贡献。

遵照陈省身先生的指导，及时明确方向，从“方向不对头”到做出“划时代的贡献”，仅有三、四年的时间啊。

在斯特拉斯堡，吴文俊与同窗好友托姆（R. Thom）结下了深厚的友谊。托姆经常找吴文俊聊天，畅谈学习心得，交流研究工作的体会。他们之间无私的、无保留的相互交谈，使二人都获得很大的益处。吴文俊向托姆介绍了庞特里亚金示性类的重要性质，即一个流形是另外一个流形的边界时，它的庞特里亚金示性类必定为零。这是配边理论的开端。托姆从中得到很大启发，以此为起点进行深入研究，建立了一整套配边理论，获得了菲尔兹（Fields）奖。托姆则向吴文俊介绍了自己所擅长的乘积空间对角映射的概念和技术，吴文俊也从中得到很大启发，成为他后来研究拓扑流形示嵌类理论的重要基础。基础研究需要无私的奉献精神，需要真诚的合作，而排斥不正当的竞争。那种你上我下、你失我得的竞争，只能为基础研究带来损害。吴文俊与托姆的亲密无间的真挚友谊，成为拓扑学界的一段佳话。

当时法国的一些数学家习惯于在街边的咖啡屋占据一角，不理会窗外的车水马龙，从早到晚潜心研究数学。吴文俊也入境随俗，经常到咖啡屋，买一杯浓厚的咖啡，坐到角落的桌旁，进入拓扑学的美好境界，忘却周边的喧闹，进行着数学的演算推导，理解着数学的深奥，体味着失败的惋叹和成功的喜悦。直到夜深，吴文俊才收起书籍和笔记，离开咖啡屋。在巴黎时，受到生活条件和工作条件的限制，咖啡屋成了吴文俊的重要工作场所，在咖啡屋他完成了大量的研究工作，他的许多研究成果是在咖啡屋里获得的。

吴文俊发现了一个关于4维流形庞特里亚金示性类的重要公式，叙述简单却包含着大量的拓扑信息，可惜他未能给出证明。不久，托姆证明了这个公式。沃尔夫（Wolf）奖获得者、德国数学家希尔兹布赫（F. Hirzebruch）把这个公式写入专著中，产生了重要影响。许多拓扑学家往往产生这样的困惑，吴文俊是如何发现这个非常基本而如此美妙的公式呢？难道他得到了上帝的恩赐吗？其实，吴文俊是在拓扑学问题的研究中，进行了大量的推导和演算，好几个互不相干的领域都导致相同的公式，他自然认识到此公式的普适性和根本重要性。这个公式的发现，是吴文俊在研究工作中付出大量心血，进行艰苦卓绝的探索所获取的劳动果实。

后来，当他回国之后，又研究拓扑流形的嵌入问题。所谓“嵌入”，是把由解析方程所确定的复杂的几何形体（即拓扑流形），在保持连续的前提下，安置到简单直观的欧氏空间内。拓扑学研究中，同胚不变量是更为重要、更为基本的。但同胚不变量的研究十分困难，一时难以下手，於是降低要求，转为研究易算的同伦不变量，一段时间形成了研究的热点。吴文俊并不凑热闹，仍然将自己研究的目标，专注于同胚不变量的研究。他集中精力反复探索，从托姆介绍的乘积空间对角映射的思想汲取精华，深入挖掘，引入同胚不变量而非同伦不变量的一种一般构造方法，从而可以提供许多同胚不变量。他以此为工具，系统地研究嵌入问题，建立了复合形的“吴示嵌类”的重要概念。用类似的方法，研究浸入问题和同痕问题，建立了“吴示浸类”和“吴示痕类”的基本概念。

吴文俊的研究成果极富创造性，产生重大影响，引发了大量的后续工作。例如，美国数学家米尔诺（J. Milnor）以解决“7球问题”而获菲尔兹奖。在他获奖的文章中，用到吴文俊关于庞特里亚金示性类和惠特尼示性类乘积定理的结果。又如，美国数学家斯迈尔（S. Smale）因解决“Poincare猜想”而获菲尔兹奖。在他的获奖工作中，引用了吴文俊关于示痕类的定理，特意指出吴文俊的定理对于他证明关键定理是不可或缺的。再例如，英国数学家阿蒂亚（M.F. Atiyah）因证明“指标定理”而获菲尔兹奖。此定理与费尔马（Fermat）大定理同称为20世纪数学科学最辉煌的成就。他发表的相关论文，在不到两页半的引言部分，引述吴文俊的工作多达17次，正文中也多处引用吴文俊的这些成果。前文已讲到的法国数学家托姆，他获菲尔兹奖的工作当然引用了吴文俊的结果。他还在回忆录中，深情地讲述了吴文俊和他的友谊。

吴文俊的一些研究成果成为代数拓扑学的经典，半个世纪以来一直发挥着重要作用。吴示性类、吴公式成为拓扑学的必修内容，年轻人可以熟练地掌握和运用这些概念，而不必考证这些概念的来历，也无须了解这位姓吴的数学家。吴文俊的研究成果对代数拓扑学具有奠基性。

吴文俊在拓扑学研究中获得的杰出成就，使他和同时代的另外几位年轻数学家，共同推动拓扑学蓬勃发展，使之成为20世纪的数学主流学科之一。

吴文俊通过自己的独创性工作而享有盛名，他以自己的学术思想影响了一大批学者，包括前述的多位著名数学家。这充分显示了他的研究成果的深刻性，重要性，也充分显示吴文俊是一位具有战略眼光的数学家。

为数学科学的发展做出重大贡献，大致可以分为三类：一是取得突破，解决重大数学问题；二是开拓创新，创立新的重要的数学理论；三是化腐朽为神奇，推动某个数学分支向前发展，成为数学的主流。吴文俊先生在这三个方面都有所建树。审时度势，把握明确的研究方向，保持良好的心境，勤于探索，善于探索，是吴文俊在代数拓扑学研究的成功之旅所带给人们的启示。

吴文俊， 数学家，中国科学院院士，第三世界科学院院士。1919年出生于上海。1940年毕业于上海交通大学数学系。1949年在法国斯特拉斯堡大学获法国国家科学博士学位。曾任中国科学院系统科学研究所名誉所长、中国数学会理事长、中国科学院数理学部主任。1990年创建数学机械化研究中心，并任主任。研究工作涉及代数拓扑学、代数几何、博奕论、数学史、数学机械化等众多学术领域。1956年因在拓扑学中示性类与示嵌类方面的卓越成就获国家自然科学奖一等奖，1980年获中国科学院科技成果一等奖，1992年获第三世界科学院数学奖，1993年获陈嘉庚基金会数理科学奖，1994年获求是科技基金会杰出科学家奖，1997年因在数学机械化研究方面的开创性贡献获Herbrand自动推理杰出成就奖，2000年荣获首届国家最高科学技术奖。

数学与系统科学研究院研究员 石 赫

（本文的写作过程中，得到吴文俊先生的热情帮助和指导，谨致谢意。）