李冶之治学思想

“积财千万,不如薄技在身”。

“金璧虽重宝,费用难贮蓄。学问藏之身,身在即有余。”

“学有三:积之之多不若取之之精,取之之精不若得之之深。”

李冶研究代数方法成就天元术

 李冶(公元1192年—1279年)字仁卿,号敬斋,栾城(今河北栾城)人。他是金、元时期的著名数学家,原名叫李治,因为朝廷禁止平民和古代帝王同名,而他的名字又和唐高宗的名字相同,于是就减去了一个点,改名叫李冶。

公元1192 年李冶生于金代大兴城(今北京)的一个官僚家庭。

  

他的父亲李遹是金朝的进士,一位博学多才的学者,曾在大兴府尹胡沙虎手下任推官,负责勘问刑狱的工作。由于胡沙虎篡权乱政,李遹被迫辞职,隐居在阳翟。他为了防备胡沙虎的迫害,把家中的老小,包括还在童年的李冶送回家乡。

李冶从小受到父亲的言传身教,他以父亲的正直为人和好学精神为典范。在李冶看来,学问比财富更可贵。在青少时期,李冶有一个好友叫元好问,他是太原秀容人,诗和古文都很有名,李冶对文学、史学、数学、经学都很感兴趣,就与元好问出外求学,拜文学家赵秉文、杨文献为师,不久便名声大振。公元1230 年,李冶赴洛阳应试,被录取为词赋科进士,得高陵主簿官职,但他没有赴任。当时有人称赞他“经为通儒,文为名家”。后到钧州(今河南禹县)当知事。

1232年,蒙古军攻破了钧州城,李冶弃职北走,隐居在晋北峰山的桐川。他在经过一段时间的颠沛流离之后,就在崞县的桐川定居下来。此时他已年过40。金朝的灭亡,使李冶感到政事已无可为,于是他就潜心研究学问。虽然生活很艰苦,但有充分的时间进行学术研究。他的研究工作涉及数学、文学、历史、天文、哲学、 医学等。他居住的屋子里,四面墙边堆的都是书,别人都感觉受不了,他在里面却觉得很舒服。与李冶同时代的砚坚说他,世间的书只要是他看见的,没有他不研究的,甚至是“薄物细故”,从不遗漏。

李冶认为,数学虽然在六艺(礼、乐、射、御、书、数)的最后一位,但是把它放在“人事”中来看,却是最重要的学问,于是他把大部分的精力用于研究数学。他主要研究的是天元术。

中国最早的代数成就——“天元术”

宋元时期高次方程数值求解技术的发展,引起了对列方程方法的需求。 随着数学问题的日益复杂,迫切需要一种一般的、能建立任意次方程的方法,天元术便是在这样的背景下产生而发展起来的。

中国列方程的思想可追溯到《九章算术》。该书是在东汉前期成书,全书分为九章,其中第八章《方程》,是使用文字叙述的方法建立了二次方程,但没有明确的未知数概念。到唐代公元6 世纪下半叶,王孝通已能列出三次方程。他在《缉古算术》讨论了四类问题的求解。第一类是天文学中的计算问题;第二类是土木工程中的土方问题,主要是求体积,根据已知条件计算其体积及长、宽、高,另一方面从已知的某一部分体积及某些参数求其长、宽、高等。问题之复杂超过了以往任何算经。第三类求各种形状的仓房、地窖的高、广、径问题。第四类是已知勾、股、弦三事二者之积或差,求 勾、股、弦的问题。后三类问题大都归结为一个方程。王孝通虽然能列出三次方程,但他不懂天元术,完全是用几何方法推导方程,所以需要很高的技巧,不易被一般人掌握。

实际上,在宋之前的方程理论一直受几何思维束缚,如常数项只能为正,因为常数通常是表示面积、体积等几何量的;方程次数不高于三次,因为高于三次的方程就难于找到几何解释了。王孝通的四次方程,是通过两次开平方解决的。经过北宋贾宪、刘益等人的工作,求高次方程正根的问题基本解决了。

在流传下来的宋元数学著作中,最早对天元术进行系统介绍的是李冶的《测圆海镜》(1248)和《益古演段》(1259)两部著作。天元术是一种用数学符号列方程的方法,是我国早期使用的一种半符号代数,当时它还很不成熟,因此李冶决心把天元术改造得更加完善。 、

花一生心血写两部数学专著,用五常精思致力成就“天元术”

 李冶将一生的心血化为两本珍贵专著《测圆海镜》12卷(1248年)和《益古演段》3卷(1259年)。他在病危时对其子克修说:“测圆海镜一书,虽九九小数,五常精思致力焉,后世必有知者”。他郑重地叮嘱儿子,千万要保存好,不要把它们烧毁了。可是在当时社会环境下,李冶的工作还不能被当时学者的理解,《测圆海镜》和《益古演段》两书,是在李冶逝世后三十年才得以付印的。这两本也成为我国和世界至今保留下来的有关天元术研究的最早、最完整而详细的著作。

 在李冶之前,天元术还比较幼稚,记号混乱,演算比较烦琐麻烦。李冶在对早期天元术问题进行了分析之后,对“天元术”进行了比较大的改进。他认识到,只有摆脱几何思维束缚,建立一套不依赖于具体问题的固定程序,才能实现上述目的。

李冶的《测圆海镜》便是天元术的代表作,他在公元1248年完成了他的代数名著《测圆海镜》。他的天元术与现代列方程的方法极为类似。 李冶总结出的列方程程序是,首先“立天元一为某某”:这相当于现在的“设x为某某”的意思;然后依据题设条件列出两个相等的天元式(含未知数的多项式),寻找两个等值的而且至少有一个含天元的多项式;最后把两个等值多项式联为方程,通过“相消”化成标准形式     anXn+an-1Xn-1+a0X0=0    李冶创造出了一种比较清晰和简便的、适于各类问题的列方程的方法。最后利用增乘开方法求这个方程的根。 李治在书中把记多项式的文字省略为一个字,在一次项旁边记个“元”字,或在常数项旁边记个“太”字,使天元术成为比较简单的固定形式。这在世界数学史上也是处于领先地位的。

我们知道欧洲直到16世纪下半叶才由韦达引入了半符号的代数,它比我国的天元术至少晚了300年。 西方把韦达称为“代数符号之父”,而韦达提出用代数符号的时间却是在李治使用天元术300多年之后。      

实际上,《测圆海镜》中方程各项的符号均无限制,这是代数学的一个进步。

李冶由于摆脱了几何思维束缚,在方程理论上取得了四项进展:

第一,他改变了传统的把常数项看作正数的观念,常数项可正可负,而不再拘泥于它的几何意义。 

第二,李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。在这里,未知数已具有纯代数意义,二次方并非代 表面积,三次方程也并非代表体积。

第三,李冶完整解决了分式方程问题,他已懂得用方程两边同乘一个整式的方法化分式方程为整式方程。

第四,李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子xn(n 为正整数)时,李冶便令次数最低的项为实,其他各项均降低这一次数。

《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作,而且在书的编排上也有创新。全书基本上是一个演绎体系,卷一包含了解题所需的定义、定理、公 式,后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术的方法推导出来。李冶以前的算术,一般采取问题集的形式,各章(卷)内容大体上平列。李冶以演绎法著书,这是中国数学史上的一个进步。

秦九韶是在公元1247年9 月完成他的数学名著《数书九章》,而李冶的《测圆海镜》比《数书九章》 成书的时间相差不过一年。 

 李冶还发明了负号,他的负号与现在不同,是数字上画一条斜线。而在国外,德国人是在15 世纪才引入负号的。李冶还发明了一套相当简明的小数记法,在李冶之前,小数记法离不开数名,如 7.59875 尺记作七尺五寸九分八厘七毫五丝。李冶则取消数名,完全用数码表示小数,纯小数在个位处写0,带小数于个位数下写步,如 0.25 记作○=|||||,这种记法在当时算是最先进的。直到17 世纪,英国数学家J·纳普尔(1550—1617)发明小数点后,小数才有了更好的记法。 

 李冶由于掌握了一套完整的数字符号及性质符号,他的方程已能用符号表示,从而改变以往用文字描述方程的状况。但这时仍缺少运算符号,特别是缺少等号。因此这样的代数,只能称为“半符号代数”,它是近代符号代数的前身。大约300 年后,类似的半符号代数也在欧洲产生了。   

李冶撰写《益古演段》为推广普及“天元术”

北宋数学家蒋周写过一本《益古集》,内容多为二次方程,列方程的方法则是几何方法。李冶读过蒋周的《益古集》,并用天元术对这本书进行了研究。公元1259 年,李冶的另一本数学著作《益古演段》写成了。《益古演段》全书共3卷,64题,主要处理的是平面图形的面积问题,所求多为圆径、方边、周长之类。除四道题是一次方程外,全是二次方程问题,内容安排基本上是从易到难。从这个角度来分析,《益古演段》这本书,可能是李冶在教学过程中为学生所写的教材。

《益古演段》在数学理论上也有创新。该书的问题同《测圆海镜》有所不同,所求的量不是一个而是两个、三个甚至四个。按照古代的方程理论“二物者再程,三物者三程,皆如物数程之。”应该用方程组来解,所含方程的个数与所求的个数是一致的。但是解二次方程组显然要比解一元方程困难得多。

李冶是在完成了《测圆海镜》之后再来写《益古演段》,他对天元术的运用自然会更加熟练,但是他在这本书中却没有像他在《测圆海镜》中那样,完全用天元术来解题。书中新旧二术并用,新术是李冶的代数方法——天元术;旧术仍然是蒋周的几何方法——条段法。条段法是一种图解的方法,因为方程各项常用一段一段的条形面积表示,所以得名为条段法。这本书深入浅出,揭示了天元术和条段法的联系和区别,使人们了解条段法向天元术的过渡过程,他还在书中经常使用人们比较易懂的几何方法对天元术进行验证,这对人们接受天元术是有很大帮助的。书中附有一些插图,不仅有利于教学,也便于自学。砚坚为李冶的《益古演段》作《序》,称赞这本书说:“说之详,非若溟涬黯淡之不可晓;析之明,非若浅近粗俗之无足观”。这些特点,使《益古演段》成为一本受人们欢迎的数学教材,对天元术的传播起了不小的作用。

李冶所处的年代是一个政治动荡不定的时期,他的研究是在极其困难的条件下进行的。特别是在弃官隐居之后,生活更加艰苦,常常是饥寒至不能自存,但他仍以讲学、著书为乐。很多人都讥笑李冶,说他“玩物丧志”,李冶泰然自若。他坚决拒绝了朝廷高官厚禄的诱惑,潜心研究“天元术”,能做到这一点是非常不容易的。

李冶善于接受前人知识,取其精华。有人问学于李冶,李冶回答说:“学有三:积之之多不若取之之精,取之之精不若得之之深”。这就是说,要去其糟粕,取其精华,并使它成为自己的东西。 李冶反对文章的深奥化和庸俗化,他认为文章是写给别人看,而不是为自己。李冶在《益古演段》序中说:“今之算者,未必有刘(徽)李(淳风)之工,而编心踞见,不肯晓然示人唯务隐互错揉故为溪滓黯哭,唯恐学者得窥其仿佛也。” 他的《益古演段》就是这种主张下的著作。