壳体简史

孙博华

(半岛科技大学工学院，南非)

 孙博华, 南非科学院院士. 主要研究复杂结构、壳体力学和复杂流动等, 入选《2010年海外华人十大新闻人物》.

 

摘要

壳体可以简单地看作成弯曲的板，它具有比较优越的力学特性，本文简单介绍了薄壳壳体和旋转壳理论的发展历史， 同时评述了壳体解析理论的复变量方法和位移场方法。

关键词: 薄壳, 旋转壳，柱壳，球壳，锥壳，环壳

Brief History of Shells

Sun Bohua

Cape Peninsular University of Technology，Cape Town, South Africa

 

Abstract

The shell structure can be simply viewed as a curved plate, the shell has some advanced feature of mechanics. The brief history of shells research has been presented. The thin shells and shells of revolution have been reviewed. The analytic approaches of complex-variable and displacement field have been discussed.

Keywords: thin shell, revaluation shell, cylindrical shell, circular shell, toroidal shell

一, 引言
人类在与自然的和谐共处中, 逐渐认识到利用各种不同形式的结构可以承受各种不同的荷载, 或是跨越一定跨度的空间距离.人们首先认识到索和梁可以承载荷载, 逐渐又发现了柱,桁架,拱和其他结构形式, 相应的理论也逐步建立起来。

ranz Dischinger

由于人类对于工业的要求, 已有的结构形式不能满足大跨度,重荷载等方面的要求. 解决这些问题的一个途径就是利用结构的空间形式和性能. 壳体结构就是其中一种优越的空间结构形式^[1-5]。

 

壳体的曲面特点具有十分优越的力学性能，如果设计得合理可以以较小的厚度承担起相当大的载荷。在这方面它比平板要优越的多，其所提供给设计者的优越性大致可以以拱代梁相似。壳体的这种性质使它可以用来制造很轻而又有足够强度的结构物，并使这类结构广泛应用于飞机制造，船舶制造和钢筋混凝土结构的建造中. 壳体成为以重量小承载大结构的一种最佳选择形式。
现代把壳体作为承重结构主要归功于1900年开始的预应力混凝土技术，经过1900-25结构理论的发展积累, 在德国出现了由Baursfield和Franz Dischinger （他是我国著名力学家张维先生的老师）设计的Zeiss-Dywidag薄壳结构。这个时期也是壳体结构数学理论走向技术或应用理论的发展。 可以这样说, 薄壳结构大规模的应用首先是从德国开始的^[1]。

二, 壳体理论的发展
弹性力学中所谓的“壳体”是指两个曲面所包住的薄型物体，其曲面间的厚度较物体其他尺寸要小的多,生活中可以把壳体看出为弯曲的板. 距两表面等距点的轨迹称作“壳体的中面。在中面上任意点作垂线,垂线被曲面所截割的一段长度被定义为壳的“厚度”。一般来说厚度可以是变量，等厚度的壳体在实际中最常见。中面、厚度及边线合起来完全决定了壳体的几何形状。作为弹性力学的一个分支，壳体理论的任务就是研究壳体在已知载荷作用之下的变形^[2,4]。

经典平板理论有两种解决问题的主要办法。第一种方法是A.Cauchy和S.Poisson提出的，第二种方法K.Kirchhoff提出的。A.Cauchy和S.Poisson的方法的基础是把板的所有位移和应力展成z（从板中面到点的距离）的级数。在这种级数中保留尽可能少的项，就可得Sophie Germain方程(她受到德国Gauss的影响)，保留较多的项就能随之得到较精确的平板理论。最后若在级数中保留无穷大项，就会得到精确解。A.Cauchy和S.Poisson的方法是平板理论的一般方法^[2,3,4,5]。

Kirchhoff

Kirchhoff所提出的平板理论由于物理概念明确,很快就得到了公认并一直使用。Kirchhoff采用了类似直梁理论中的一些假定，他的假定可归纳为下列几点：a）变形前垂直于中面的直线在变形后还是直的，并与挠曲了的中面垂直，而且其长度不变。b）平行于中面的面素上的法向应力与其他应力相比较可以忽略^[2,3,4,5]。
Kirchhoff提出的板模型比A.Cauchy和S.Poisson的优越，因它有更大的直观性和明确的物理概念：理论的基础是一种简化，这种简化具有明确的物理意义，并且十分明显的继承了为实验所验证的弯曲理论。引进了内力和内矩的概念使平板理论和梁的理论更加接近，并且最后明确了平板的边界条件问题^[4,5]。
Navier研究了旋转薄膜壳体问题. 1833年Lam 和Clapeyron计算了球壳在内压和外压下的应力和变形问题, Lam 于1854年又完成了在任意分布荷载下的球壳变形届. 以克希霍夫Kirchhoff的假定为基础的壳体静力和动力理论最早由Hermann Aron (1845-1913)于1873年试图建立起来。不过他的推导有些不准确性，在14年后A.Love给予纠正, 并收录到他的名著A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity中, Love导出了在最后形式上与克希霍夫的平板理论相似的壳体理论。几乎在同一时期, 诺贝尔奖获得者Lord Rayleigh也独立发表了有关壳体理论的论文, 并记录在其著名著作Theory of Sound中。
Love壳体理论推导有缺点,即他对待微小量前后不一致：一部分微量被保留下来，而另一部分同样的微小量却被弃掉。在壳体理论中应如何写出内力，力矩与中面变形之间的相互关系没有明确, 以致造成这一理论的方程在很长时间内没有标准写法。1890年Sir Horace Lamb使用新的符号改进了Love壳体有关公式使得壳体理论可以让工程师接受^[4,5]。
在壳体的内蕴或内禀(Intrinsic)理论中^[6-9], 不使用位移作为未知量, 而使用度规的变化(即中面拉伸变形)和曲率的变化(即弯曲变形)作为未知量, 壳体的内禀理论和变形协调关系是Lure(1940)完成, 同时Synge和钱伟长(1941-1944)^[6]也独立完成内禀理论, Synge-钱的理论更加系统和有知名度. 钱伟长^[6-9]在微观分析中采用了一种全新的坐标系——以中面为基础的拖带坐标系(co-moving coordinates),引进了中面的拉伸变形张量和弯曲变形张量共六个未知量是内禀理论的基本未知量. 基本未知量满足的三个相容方程可由曲率张量满足的条件得到，而另外三个方程是平衡微分方程，从而形成完整的张量方程式。所提出的内禀理论适合于各种不同的坐标系及各种不同形状的薄壳和薄板问题。根据板壳特征尺度与曲率半径之比及其与相对厚度的关系，对薄板薄壳进行详尽细致的分类。钱伟长^[7-9]确定了12类薄板问题和35类薄壳问题，均用六个方程（三个平衡方程、三个协调方程）加以描述，这些方程涵盖了常见的小挠度方程以及一些已知的大挠度方程。
应当指出, 由于壳体的内蕴或内禀理论不使用位移作为未知量, 而使用度规的变化(即中面拉伸变形)和曲率的变化(即弯曲变形)作为未知量, 这对于理论分析比较有用, 但由于实际问题因为一般都要计算位移和利用边界条件, 而内禀理论就很难用度规的变化(即中面拉伸变形)和曲率的变化来表达边界条件, 这可能是内禀理论后来没有得到应用的一个原因.
对壳体理论协调条件的是由Goldenveizer(1939)^[10]完成，他第一次表达了壳体小变形的线性连续条件或称变形协调条件.非线性协调方程是由Galimov(1953)导出, 并于1966年由Koiter改正. 从微分几何的角度看, 变形协调条件本质就是变形后曲面的高斯-科达奇(Gauss-Godazzi)条件或者说是壳体变形的Riemann张量为零的条件。
1934年德国的Wilhelm Fl gge 出版了有关壳体的第一部专著 Statik und Dynamik der Schalen^[2] (壳体的静力学和动力学). 荷兰W. T. Koiter (1945)建立了壳体的线性一致理论和非线性壳体理论, 但由于使用荷兰语发表到了很晚才被知道. 1949年Zerna建立以位移为未知量的壳体弯曲理论, 后来他与A.E.Green合作使用张量系统导出壳体一般理论。

著名力学家，世界第一部壳体专著的作者W.Fl gge曾说：“在连续介质力学领域中，张量分析最精彩的应用之一是壳体一般理论。”^[2] 而壳体理论的建立需要曲面的一般理论。

德国学者在完成薄壳理论方面起到关键性的作用, 主要是由于二个方面的原因. 一是因为德国学者Kirschhoff物理上提出了能反映壳体变形本质的假设, 即变形前的直法线在变形后为直线。这个力学假设较好的反映了薄壳的变形本质, 极大的简化了问题的力学模型; 第二个原因是壳体模型需要的微分几何已经由德国数学家构造好了. Kirchhoff的老师高斯(Gauss )以及高斯的学生黎曼(Riemann)完成了曲面理论. 壳体由于是曲面, 要建立它的力学就必须首先建立曲面上的几何学, 这些数学工具都由Kirchhoff的老师高斯和同学黎曼准备好了。

J.C. Gauss

壳体按几何形式可以各种各样有比较一般的旋转壳，常用的有球壳、柱壳、锥壳、环壳和抛物旋转壳。球壳和柱壳由于其曲率是常数比较容易求解。锥壳^[11，12]、抛物旋转壳^[13]和环壳^[14]的曲率是变的,问题比较难处理。

？

三, 旋转壳的研究
德国学者Hans Reissner对球形壳体计算首先取得重大的成就,H. Reissner把描述这种壳体对称变形的微分方程转化为简便的形式，随后Blumenthal (1913)帮助Reissner利用渐进法求解了方程。那时Hans Reissner发现了有可能用复数变换的方法降低该问题的微分方程的阶次，把受对称载荷的球形壳体的计算归结为积分一个不超过二阶的微分方程。紧随着，苏黎世的Eric Meissner就把上述结果成功地推广到任意形状的（甚至变厚度的）旋转壳体的对称变形上去^[2,4,5]. 德国-苏黎世学派的这些结果不便于实际应用,他们的精确解通常是用超越几何级数表示, 在当时计算超越几何级数是件非常困难的事。

Hans Reissner

旋转壳体对称变形方程（基于忽略量级等于及高于的各项，h 是壳体厚度，R是壳体特征曲率）的近似积分方法是J. Geckeler(1926)提出, 用叠加无矩方程解与所谓“边缘效应”方程的解^[2,4,5].
受非对称载荷的旋转壳体的计算要比较复杂,其中最重要的是“风型”反对称载荷。对于球形壳体，这种问题曾在E.Schwerin (1919)的学位论文中得到解决，他按照自己的老师Meissner和Hans Reissner把微分方程加以变换，力求获得在给定情况下收敛得好的超级几何级数形式的解，发现了两个直接积分以及复数变换的可能性. Novozhilov^[5]把复变量方法推广到任意形状的旋转壳体。当壳体理论方程写成复数形式时其阶数降低一倍，复数形式的旋转壳体方程可归结为二个变量（复数辅助函数）的方程组。
将壳体方程化成复数形式是有条件的, 条件是：1. 壳体中曲面的变形协调方程与壳体元素的平衡方程是完全对称的，即存在静力一几何相似；2. 复数变换在内力一力矩和中曲面的变形间的关系，即本构关系具有一定形式才能进行。由于将壳体方程化成复数形式的方程应具备以上两个条件，就使得这种方法具有一定的适用范围，它只能用来处理等厚度环壳的弯曲问题, 它不能一般的推广到变厚度壳和各向异性壳上，它不能用于壳体动力学问题以及壳体的稳定性问题，在壳体的非线形理论中也没有复变量变换。就是说在一般情况下不存在静力一几何相似, 也就是说没有可能通过引入复变量将平衡方程与变形协调方程合并^[2,4,5]。

三、有关壳体解析理论的复变量方法^[5]和位移场方法
一般情况下壳体的主曲率不是常数而是变数,这样中面的应变和曲率变化都是变系数的，最终导致控制方程都是变系数的，非常难于求解。为了解决求解的难题，百年以来国际上一直使用力复变量方法将弯曲问题的方程简化降阶，所得结果的待定常数对于只有力学边界条件的问题比较好确定，但对于有位移边界条件的问题就非常难于确定，因为这时求解位移一般还需要积分过程而复杂函数的精确积分一般很难求得，所以一方面通过引入力复变量简化了方程得到了解但在求解位移时的积分难度又将前面简化的劳动成果抵消了许多，甚至有些函数的积分根本就得不到解析表达而不得不使用数值方法。另外一个本质缺陷是这种引入复变量的方法只能用来处理弯曲问题，不能用来处理振动和屈曲特征值问题，因为可以引入复变量的静力－几何比拟条件对特征值问题一般是不成立的。所以一般的处理壳体问题使用位移场作为基本变量是最受欢迎的，其优点是在求得位移场后使用微分就可以求得应变场，微分运算比积分要容易的多，同时位移场方法可以统一的处理静力、动力和屈曲问题。虽然位移场方法有以上优点但其缺点是方程组更为复杂更难求解，所以自有壳体理论以来，除了等厚度园柱壳有位移场解外，壳体理论发展的百年来以来都没有锥壳和环壳等的任何位移场解，直到近年来才有[12](1989)给出了扁锥壳位移场，[13]（1996）给出抛物旋转壳体的位移场[14]（2010）]给出细环壳位移场，。但是,对于非扁的壳体即深壳体,如何求其位移场解是壳体理论建立以来一直存在的数学难题。

致谢
本人感谢硕士导师黄义教授把我引进壳体领域特别是锥壳的研究，感谢博士导师叶开沅教授引导我从事非线性力学和组合结构的研究，感谢博士后导师张维院士引导我从事环壳等方面的研究。 愿以此文特别怀念张维和叶开沅二位先生.

参考文献

[1]？？？ 张维，壳体结构概论，北京力学会，北京,1962年。

[2]？？？ Fl gge ？W, Statik und Dynamik der Schalen, Spinger-Verlag, Berlin，1938.

[3]？？？ Timoshenko, S.P., History of Strength of Materials, McGraw-Hill Publishing Co., New York, 1953.

[4]？？？ Love, A H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, University of Cambridge, Cambridge, 1988.
[5]？？？ Novozhilov, V.V., The Theory of Thin Shells, Noordhoff, Groningen, The Netherlands, 1959.

[6]？？？ J.L.Synge and W.Z. Chien(钱伟长), The intrinsic theory of elastic shells and plates, Applied Mechanics, Theodore von Karman Anniversary Volume, 1941, 103-120.

[7]？？？ Chien Wei-zang(钱伟长), The intrinsic theory of thin shells and plates, Part I - General theory, Quarterly of Applied Mathematics, 1944,1(4), 297-327.

[8]？？？ Chien Wei-zang(钱伟长), The intrinsic theory of thin shells and plates, Part II - Application to thin plates, Quarterl